数学模型建模方法在原油采购和加工中的应用

我们知道，在数学规划模型中，0-1变量的使用非常广泛，通过引入0-1变量，能够非常巧妙地将数量关系和数量形式表示出来．我们不妨把这种方法叫0-1变量建模法，也可以看成是数学建模方法中的一个子方法．下面我们通过一些案例来学习0-1变量法的使用．

1．问题与分析

某公司有两种原油A和B，要混合加工成两种汽油甲和乙．甲、乙两种汽油含原油A的最低比例分别为50%和60%，售价分别为4 800元/t和5 600元/t．该公司原油A和B的库存量分别为500 t和1 000 t，还可以从市场上购买到不超过1 500 t的原油A．原油A的购买量不超过500 t时，单价为10 000元/t，超过500 t但不超过1 000 t时，超过500 t的部分为8 000元/t，超过1 000 t时，超过的部分为6 000元/t．试分析该公司如何安排原油的采购和加工，可使利润最大？

2．模型假设

（1）原油A的采购量为x；

（2）采购的和原有的原油A用于加工甲和乙两种汽油的数量分别为x11和x12；

（3）原油B用于加工甲和乙两种汽油的数量分别为x21和x22；

（4）原油A的购买费用为c（x）．

3．模型建立与计算

1）数学规划模型

建立的数学规划模型为

其中，

为了将上述非线性规划模型化成线性规划模型，需将变量x进行分解．购买的原油A可分成3部分：x1为10 000元/t的，x2为8 000元/t的，x3为6 000元/t的，则x=x1+x2+x3．它们的取值范围有特定的要求，即3个变量的取值只能取到如下3种组合形式：

(x1,0,0)，(500,x2,0)，(500,500,x3)，0≤x1≤500,0≤x2≤500,0≤x3≤500

那么如何通过数量计算关系式将这样的取值状态表现出来呢？下面详细说明．

2）不等式限制选择模型

上述问题实际上就是对变量组（x1，x2，x3）的几种选择，也可以看成是以这3个未知数形成的不等式组的解．(www.xing528.com)

我们引入0-1变量：y1，y2，y3，用它们与原来的变量x1，x2，x3建立不等式组，使当y1，y2，y3取遍所有的组合值时，分别得到我们需要的变量x1，x2，x3的取值．建立的关系式为

例如，当y1=1，y2=0，y3=0时，对应的不等式组的解为（x1，0，0）；当y1=1，y2=1，y3=0时对应的不等式组的解为（500，x2，0）；当y1=1，y2=1，y3=1时对应的不等式组的解为（500，500，x3）．

而y1，y2，y3的其他组合都使不等式组无解．在这里，3个变量y1，y2，y3起到了重要的选择作用．在计算时，计算机会对这3个变量的取值进行组合搭配，然后代入不等式组中，求出满足不等式的x1，x2，x3，从而得到我们需要的取值形式和范围．

3）连续线性变量的0-1变量关系模型

利用将一个n段线性连续函数f（x）写成一个统一表达式的形式．各分点为b1≤b2≤…≤bn≤bn+1，将每一个小区间段上点的坐标用一个统一表达式来表示，即，其中0≤zk≤1，则有

但是计算时要分成不同的情况用不同的计算公式，实际上就是用变量z1，z2，…，zn+1的组合形式：

(z1,z2,0,…,0)，(0,z2,z3,0,…,0)，…，(0,…,0,zn,zn+1)

并且使

如何通过表达式的计算得到这样的形式的组合呢？可以通过构造含有这些变量的不等式组，使它们的解满足这样的形式，也可以通过引入0-1变量，通过它们的取值组合，得到不同的不等式组，正好对应相应的解．

令yk=0或1，k=1，2，…，n，使

但是这些0-1变量并非任意取值，还要加上限制条件，确保由相应的这些0-1变量构造的不等式组的解正好是我们需要的，即

也就是当yk=0或1，k=1，2，…，n取到（1，0，…，0），（0，1，0，…0），…，（0，0，…，0，1）时，对应的不等式组（3-11）正好得到所有我们需要的解，即

(z1,z2,0,…,0)，…，(0,…,0,zn,zn+1)

利用LINGO数学软件很容易编写相应的程序进行计算，在此省略．

4．建模方法点评

本模型是0-1变量建模方法在数学规划问题建模中的典型应用，体现了0-1变量的作用，用它们参与运算，可计算出我们需要的变量组合形式．通过本案例模型可以看出，0-1变量可以将不同的计算形式进行统一化处理，化成一个统一的表达式，然后利用其中的参数的特殊搭配，实现不同的计算，而这种特殊的搭配通过引入0-1变量构造相应的不等式组实现，进而得到所需要到数据组合搭配形式．