大学物理学上册|圆周运动的加速度和角量描述

圆周运动是曲线运动的一个重要特例，又是研究物体转动的基础.在一般圆周运动中，质点速度的大小和方向都在改变着，亦即存在着加速度.为了使加速度的物理意义更为清晰，通常在圆周运动的研究中，采用自然坐标更为方便.根据上述介绍，可以知道，做圆周运动质点的加速度可以表示为

式中，R 为圆周运动的半径.

质点做圆周运动时，也常用角位移、角速度和角加速度等角量来描述.设一质点在平面Oxy 内，绕原点O 做圆周运动（图1.8）.如果在时刻t，质点在A 点，半径OA 与Ox 轴成θ 角，θ 角叫做角位置.在时刻t+Δt，质点到达B 点.半径OB 与Ox 轴成θ+Δθ 角.就是说，在Δt 时间内，质点转过角度Δθ，此Δθ 角叫做质点对O 点的角位移.角位移不但有大小而且有转向.一般规定沿逆时针转向的角位移取正值，沿顺时针转向的角位移取负值.

角位移Δθ 与时间Δt 之比在Δt 趋近于零时的极限值称为某一时刻t 质点对O 点的瞬时角速度ω，简称角速度，即

图1.8　自然坐标系

设质点在某一时刻的角速度为ω0，经过时间Δt 后，角速度为ω，则Δω=ω-ω0 叫做在这段时间内角速度的增量.角速度的增量Δω 与时间Δt 之比在Δt 趋近于零时的极限值叫做某一时刻t 质点对O 点的瞬时角加速度，简称角加速度，即

角位移的单位是rad，角速度和角加速度的单位分别为rad/s 和rad/s2.

质点做匀速圆周运动时，角速度ω 是常量，角加速度α 为零.质点作变速圆周运动时，角速度ω 不是常量，角加速度α 也可能不是常量.如果角加速度α 为常量，这就是匀变速圆周运动.质点作匀速和匀变速圆周运动时，用角量表示的运动方程与匀速和匀变速直线运动的运动方程完全相似.匀速圆周运动的运动方程为

匀变速圆周运动的运动方程为(www.xing528.com)

式中，θ、θ0、ω、ω0 和α 分别表示角位置、初角位置、角速度、初角速度和角加速度.

参照图1.9，设圆的半径为R，在时间Δt 内，质点的角位移为Δθ，那么质点在这段时间内的线位移就是有向线段当Δt 极小时，弦和弧可视为等长，即

图1.9　圆周运动

以Δt 除等式的两边，当Δt 趋近于零时，按照速度和角速度的定义，得线速度大小和角速度大小之间的关系式

设质点在时间Δt 内，速率的增量是Δv=v-v0，相应的角速度的增量是Δω=ω-ω0，因此按照上式得Δv=RΔω.以Δt 除等式的两边，当Δt 趋近于零时，按照切向加速度和角速度的定义，得到质点切向加速度大小与角加速度大小之间的关系式为

如果把v=Rω 代入向心加速度的公式可得质点向心加速度大小与角速度大小之间的关系式