如何进行概率论与数理统计中的区间估计

参数的点估计，就是用估计量的一个具体数值作为未知参数的估计值，其优点是直观、简单.一般来说点估计值位于总体参数附近，在平均意义上，二者相等.但由于在实际抽样调查中一次只是随机抽取一个样本，导致估计值会因样本的不同而不同，这样有可能产生很大的差异.所以在估计总体指标时就必须同时考虑估计误差的大小.但是点估计仅仅是未知参数的一个近似值，这种近似值的精确程度或误差范围都没有给出，这是点估计的缺陷.为进一步研究未知参数估计值的精确程度与可靠程度，我们引入参数的区间估计.

区间估计就是用样本估计量与其抽样平均误差构成的区间来估计总体参数，并以一定的概率保证总体参数在所估计的区间内.

例如，某工厂欲对出厂的一批电子元件的平均寿命进行估计，强调以一定的可信程度（比如95%）估计平均寿命的范围，这里可信程度是很重要的，它涉及使用这些电子元件的可靠性.

应该如何进行估值呢？显然，仅采用点估计是不能达到目的的，这就需要引入区间估计.

下面给出置信区间的定义.

一般α取0.05，或取0.01，0.1.如α=0.01表示反复抽样1 000次，则得到的1 000个区间中不包含总体参数θ的真值的仅有10个左右.

区间估计的一般步骤如下：

第一步：确定待估计参数和置信水平（置信度）.

第二步：确定估计量，并找出估计量的抽样分布.

第三步：利用估计量的抽样分布求出置信区间.

【例1】 设x1，x2，…，xn是测量物体长度θ的测量值，已知测量误差是各自独立的，都服从N（θ，σ2），其中σ2是已知的常数，以99%的把握可以确定长度θ在什么范围之内？

可得到

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从【例1】解题过程可知，一个未知参数θ的区间估计也有一个好坏的评价.

区间估计的基本要求如下：

在样本容量一定的条件下，这两个基本要求往往是一对矛盾.如果置信度增大，则置信区间必然增大，精确度便降低；如果提高精确度，则置信度必然减小.所以，对估计的精确度和可靠性的要求应慎重考虑.统计学家奈曼建议采用一种妥协的办法：在保证置信度的前提下，尽可能提高精确度.

下面我们按估计对象的不同分别讨论区间估计的方法和应用.