区间估计：正态总体均值差和方差比的应用

假设某产品的某项质量指标X服从正态分布，由于工艺的改进，原材料的不同、设备以及操作人员素质的变化会引起总体均值、方差的变化.实际工作中往往需要估计这种变化的大小，即估计两个正态总体均值或方差比的估计问题.

6.3.3.1 两个正态总体均值差μ1-μ2的区间估计

实际问题中常会遇到比较两个总体情况，需要估计两个总体均值之间的差异有多大，例如估计两地人均收入的差异、估计两个企业生产的同一种产品的某一质量指标的差异程度等.这时就需要对两个总体均值之差μ1-μ2进行区间估计.

我们分以下三种情况进行讨论：

【例6】 甲、乙两台机床加工同种零件，分别从甲、乙机床处取9个和7个零件，量得其平均长度分别为19.8（mm），23.5（mm），已知甲机床加工的零件长度X～N（μ1，0.34），乙机床加工的零件长度Y～N（μ2，0.36），求μ1-μ2的置信度为99%的置信区间.

于是μ1-μ2的置信度为1-α的近似置信区间为

【例7】 某地区教育委员会想估计两所中学的学生高考时的英语平均成绩之差，为此在两所中学独立地抽取两个随机样本，有关数据如下表所示.

求两所中学高考英语平均分数之差在95%置信水平下的置信区间.

解 两所中学高考英语平均分数之差在95%置信水平下的置信区间为

其中

因此，μ1-μ2的置信度为1-α的近似置信区间为

【例8】 某电线厂质量检验员随机地从A批导线中抽取4根，并随机地从B批导线中抽取5根，测得其电阻（单位：Ω）分别如下：

A批导线：0.143 0.142 0.143 0.137

B批导线：0.140 0.142 0.136 0.138 0.140

设这两批导线的电阻分别服从N（μ1，σ2）和N（μ2，σ2）且相互独立μ1，μ2，σ2均未知，求μ1-μ2的置信度为95%的置信区间.

解 由题设条件，经计算得

sω=0.002 55，对α=0.05查表得tα/2（nA+nB-2）=2.364 6，于是得μ1-μ2的置信度为95%的置信区间为

对于两总体均值μ1-μ2的置信区间，若μ1-μ2的置信下限大于零，则有较大把握认为μ1＞μ2；若μ1-μ2的置信上限小于零，则有较大把握认为μ1＜μ2；若μ1-μ2的置信区间包含零，则不能断定哪个总体均值较大.

在实际问题中，我们经常会遇到比较两个总体的方差问题.例如，我们希望比较用两种不同方法生产的产品性能的稳定性，比较不同测量工具的精确度，等等.

由假设知，上述两个统计量相互独立，由F分布的定义有

并有(www.xing528.com)

即

【例9】 为了研究男女生在生活费支出（单位：元）上的差异，在某大学各随机抽取25名男学生和25名女学生，得到下面的结果：

解 根据自由度n1=25-1=24和n2=25-1=24，查F分布表，得

Fα/2（24，24）=F0.05（24，24）=1.98

则