【摘要】：雅可比方法是求解实对称矩阵全部特征值和特征向量的一种方法。设A＝n×n，Q 为正交矩阵，记雅可比方法的基本思想是通过一次正交变换，将A 中一对非零的非对角元素化成零，并且使得非对角元素的平方和减小。下面将讨论雅可比方法的收敛性，即矩阵序列｛Ak｝的对角阵的收敛性。如此继续下去，得到矩阵所以A 的特征值为而该矩阵的精确值为：通过比较，最大误差为：0.000 203 6。
雅可比（Jacobi）方法是求解实对称矩阵全部特征值和特征向量的一种方法。 它基于以下两个结论：
①任意实对称矩阵A 可以通过正交相似变换化为对角型，即存在正交矩阵Q，使得
其中，λi（i＝1，2，…，n）是A 的特征值，Q 中各列即为相应的特征向量。
②在正交相似变换下，矩阵元素的平方和不变。 设A＝（aij）n×n，Q 为正交矩阵，记
雅可比方法的基本思想是通过一次正交变换，将A 中一对非零的非对角元素化成零，并且使得非对角元素的平方和减小。 反复进行上述过程，使得变换后的矩阵的非对角元素的平方和趋于零，从而使该矩阵近似为对角矩阵，得到全部的特征值和特征向量。 下面来探讨矩阵的旋转变换。
设A 为n 阶实对称矩阵，考虑n 阶正交矩阵
除了p，q 行和p，q 列交叉位置上的4 个元素外，这里V＝（rij）n×n的其余元素均与单位矩阵相同，即rpp ＝rqq ＝cos θ，rpq ＝－rqp ＝sin θ （p＜q）。(www.xing528.com)
下面将讨论雅可比方法的收敛性，即矩阵序列｛Ak｝的对角阵的收敛性。 由前面的讨论易知：
下面应该取p ＝2，q ＝3，重复上述过程。 如此继续下去，得到矩阵
所以A 的特征值为
而该矩阵的精确值为：
通过比较，最大误差为：0.000 203 6。
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