提升数学教学效果：GeoGebra助力！

寇恒清

作者简介

寇恒清，上海市黄浦区高中数学教研员，特级教师。所主持的项目研究成果曾被评为省级一等奖。编著有《普通高中数学教科书》《普通高中数学教学参考书》等二十余种，在《数学通报》等专业期刊上发表论文100多篇。

GeoGebra是一款功能强大的数学教育软件，它是Markus Hohenwarter教授发明的。由于它是数学教育博士所主导的发明，因此GeoGebra的功能非常贴近数学教学使用。GeoGebra是开源软件，它有许多优点，其中最重要的一条：它是免费的。

GeoGebra=Geo（metry）+（al）Gebra，顾名思义，是将几何与代数，也就是将数与形相结合的一款数学工具软件（人们常称之为动态几何软件，或称之为数形画板也比较合适）。特别奇妙的是：在指令区输入方程或表达式，在绘图区就会呈现其对应的图形；在绘图区画出简单图形（如直线、圆锥曲线），在代数区就会呈现它的方程或表达式（见图1-6）。

图1-6

本文标题中的高效是指效率高，其中学习效率=学习结果÷学习时间。这里的学习结果主要是指学生数学素养的提升，我们不仅关注知识与技能的落实，更加关注能力与品格的提升，特别是关注高阶思维与自主学习能力的发展。

在安德森修订的布卢姆教育目标分类学中，把认知分为六个层级：识记、了解、应用、分析、评价、创造。其中后三个层级对应高阶思维能力（图1-7）。具有非常规性、情境性、开放性特征的高认知水平数学教学任务有助于思维能力的发展。

学生高阶思维能力；基于问题的学习、探究性学习是发展学生高层次思维的有效方式。而以片面追求考试成绩为目的，高密度、低认知水平的课堂教师提问和大容量、重复式的习题训练不能提升甚至限制了学生的高层次数学思维发展。

那么，为什么GeoGebra能让学生数学教学更高效呢？

图1-7

1.应用GeoGebra可以激发学生的数学学习兴趣

“兴趣是最好的老师”，因此能否激发学生学习数学的兴趣是数学教学成败的关键。在数学教学过程中，我们充分运用GeoGebra软件辅助数学教学，有效地激发了学生的数学学习兴趣。

（1）展现数学的奇妙与美丽。在数学教学中，我们注意充分运用GeoGebra软件来展现数学的魅力，促使学生喜爱与亲近数学。例如：在曲线与方程的教学中，我们利用GeoGebra软件作出方程的曲线（分别如下图1-8、图1-9所示，图中坐标系已隐藏），学生惊讶于曲线竟然是漂亮的“心”形图的同时感受到数学的奇妙。更进一步，我们在3D绘图区作出方程所表示的图形竟然是更加漂亮的心形曲面（见图1-10）。

图1-8

图1-9

图1-10

更为奇妙的是，我们作出对应图形并让参数变化，即可得动图“神奇的数学之心”（见图1-11）。我们还可以用方程作出动图“舞动的心”（见图1-12）。

（2）展现数学的应用价值。例如，在函数教学中，我们试图让学生通过函数模拟来解决现实问题，让学生在应用的过程中体验“数学有用”，增强数学应用意识。我们根据一组对应数据建立拟合函数（见图1-13）。又如，我们应用数学知识，借助GeoGebra软件的3D绘图功能作出的“里约奥运会火炬动图”（见图1-14），GeoGebra的3D功能可以初步地实现“模拟现实”与“增强现实”。

图1-11

图1-12

图1-13

图1-14

（3）创设愤悱情境。在教学过程中，我们还尝试利用GeoGebra软件来创设具有趣味性、探究性的问题情境，以此来激发学生的好奇心与探究欲望。

例如我们利用GeoGebra软件制作了最速降线的课件，并应用于解析几何序言课的教学中。先提出问题：三个小球从位于高处的某位置静止出发，沿不同的轨道滚动到位于低处的同一位置（见图1-15），哪一种情形最先到达底部？让学生先猜一猜，许多同学猜最上面的直线路径最快；然后通过课件（模拟动画）演示，发现沿图中最下边的曲线先达到底部。由此猜想所有曲线中应有一条最速降线，那么最速降线是什么曲线呢？让学生猜一猜，然后简要介绍这一曲线的研究历程：早在1630年，伽利略最先提出最速降线问题，但他认为最速降线是圆弧。后来，牛顿、莱布尼茨、约翰·伯努利这些大数学家都研究过这一问题，他们都用到了解析法并且都得到了正确的结论：最速降线竟然是旋轮线（也叫摆线，见图1-16）！看似毫不相关的两件事，竟然对应同一曲线，学生不由感叹：数学真奇妙啊！这样，学生的好奇心就得到了充分的激发，同时也为学生打开一扇通向数学宝库的窗户。

图1-15

图1-16

又如任意角的三角比的教学中，我们可以用学生熟悉的摩天轮来引入课题。为此，我们利用GeoGebra软件制作了漂亮的摩天轮动画课件（见图1-17），并利用这一课件来创设问题情境，激发了学生的求知欲望。

图1-17

2.应用GeoGebra丰富学生的学习方式

由于评价方式的制约，目前许多高中学生的数学学习方式还比较单一，数学学习的主动性与探究性有待加强。GeoGebra软件作为数学学习的强有力工具，可以为学生的数学探究搭建平台，学生可以在课内外利用它开展数学实验与数学探究（利用拖动与动画功能可以很好地实现图形的动态变化，使学生在观察图形的变化过程中发现问题、探索问题、解决问题）。在这一过程中，学生需要主动参与、亲自操作，在做中学、在做中思，自主探究、合作交流，不断地发现、分析和解决问题。

特别是在手持与移动技术（IPAD、智能手机）的支持下，学生可以随时、方便地利用GeoGebra软件进行数学实验与数学探究活动，就像玩游戏一样学数学，这对激发学生的学习兴趣、培养学生的探究热情与探究能力具有重要的现实意义。特别是一些对手机有依赖或喜欢玩手机游戏的同学，这可以帮助他们转移注意力、改正不良习惯，调动他们数学学习的主动性与积极性。

案例1：探究平面内到两个定点距离之和为定值（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹图形。

在椭圆定义教学中，先让学生探究平面内到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹是什么图形，然后再给出椭圆的定义。这里我们可以利用GeoGebra软件来进行作图，代替手工操作（见图1-18）。若让学生亲自手工操作，则需准备许多材料，而利用GeoGebra软件来操作则更加方便、灵活。

案例2：探到平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹图形。(www.xing528.com)

这个案例与案例1类似，但由于教学目的不同，所以探究过程与案例1有所不同。这里我们采取“建立方程-研究性质-画出曲线-GeoGebra作图验证”的探究流程，主要突出解析几何的基本思想，GeoGebra主要参与验证环节，所得轨迹图形是著名的卡西尼卵形线（见图1-19），当常数由大到小变化时，图形的变化过程恰以一个细胞分裂成两个细胞的过程。

图1-18

图1-19

图1-20

案例3：探究函数y=A sin（ωx+φ）的图像与性质。

任务1：探究A的变化对图像的影响。

任务2：探究φ的变化对图像的影响。

任务3：探究ω的变化对图像的影响。

任务4：函数y=A sin（ωx+φ）图像可由函数y=sin x图像经怎样的图形变换（平移、伸缩）得到。

先写出基本变换过程，再通过作图来加以验证（见图1-20、图1-21、图1-22）。

图1-21

图1-22

这里采取任务驱动方式，通过操作与实践、观察与猜想、归纳与验证等来进行探究，GeoGebra可参与其中每一个主要环节。在GeoGebra的支持下，探究活动更直观、更生动、更快捷。

GeoGebra既可用于发现、猜想、验证等过程中，也可引导探究方向。一些新鲜想法借助GeoGebra可以迅速实现，学生在失败与成功中得到真知。因此，GeoGebra的恰当运用可以进一步激发探究兴趣、提升探究效率、拓展探究空间、增强探究体验。综上所述，GeoGebra可以引起学生学习方式的变革。

3.应用GeoGebra优化教学内容的呈现方式

1）多元呈现教学内容

同一数学对象往往有几种不同的表示形式（多元表征），如果能以不同的形态（如代数表示、几何表示、统计表示、图形与代数、静态与动态等）展示教育内容，这往往能化解教学难点，增进学生对数学本质的理解，达到最佳的学习效果。而GeoGebra软件在多元呈现方面具有独特的优势。

例如，在研究公差d不等于0的等差数列前n项和的图像时，利用GeoGebra中的电子表格给出（n，Sn）的若干组对应值，然后利用菜单作出这些点，这样就得到了数列{Sn}的图像（见图1-23），它是一条抛物线上的若干个孤立点。然后再画出这条抛物线，它对应的是一个二次函数，这里通过GeoGebra软件使数、形、表融合为一体，尤其是从图形、表格的角度进一步展现数列{Sn}与二次函数f（x）之间的联系与区别，有助于学生深化对数列与函数关系的理解。

图1-23

2）动态呈现形成过程

利用GeoGebra软件动态呈现某些作图过程与变化过程是GeoGebra软件应用于数学教学的重要方式。

GeoGebra课件的恰当使用，可以让一些形成过程看得见、看得清，化解了教学难点，并给学生留下深刻的印象。

案例：圆锥曲线（见图1-24）就是圆锥面被平面所截出的曲线。利用3D画板来动态呈现曲线形状随截面位置的变化，突破教学难点，还可以改变图形的位置或视线的方向，使图形看起来更加清晰、直观（见图1-25、图1-26）。

图1-24

图1-25

图1-26

例如，在研究集合{（x，y）|（x-2cosθ）2+（y-2sinθ）2=16，θ∈R}所表示图形的面积时，可直接使用GeoGebra软件来辅助教学，通过先分析、猜想、后作图加以验证，最后得到集合表示的图形是一个圆环（见图1-27、图1-28）。在探究过程中，根据学生的情况随机应变，既展示了探究过程，又激发了学生的数学思维。

图1-27

图1-28

3）模拟操作过程

用GeoGebra软件来进行模拟实验与复杂计算，来代替人工操作与复杂计算，既节省时间，又突出重点。

案例：折纸导入椭圆。若具体操作，则需要重复数十次才能完成，但利用模拟实验，则可让计算机来重复操作，可立即完成，从而节省许多时间。

4.应用GeoGebra提升教师的工作效益

GeoGebra软件作为重要的数学工具，它也可以有效地提高教师的工作效益。例如我们可利用这一软件进行复杂的计算（包括解方程、微分与积分）；利用GeoGebra软件可方便地进行作图，这为教师备课、上课、编拟试卷与讲义带来了许多方便；它还为教师进行教学研究提供了平台与工具。

在问题解决或试题研究中，往往会遇到一些复杂的问题，解决这些问题需要借助一些工具来进行研究，而GeoGebra就是这样的有效工具；在试题的改编与命制过程中，GeoGebra也可以成为重要的工具与良好的帮手。

总之，恰当运用GeoGebra可以让数学教学更高效、更精彩！