培养创新思维有效途径是什么

中外专家学者的研究表明，人类本身包含着创新的本能，但这种本能往往是人的潜在能力，这种潜在能力需要开发才能变成现实的能力，教育是开发这种创新潜在能力的基本手段。通过适当的教育可以激发人们的创造性思维能力，因而从本质上讲，教育从来就负有培养创新精神的任务，数学教育由于学科特点更应负有培养学生创新思维的重任。

（1）加强“双基”教学，是培养学生创新思维的良好基础

①创新思维的展开，必须建立在牢固掌握数学知识的基础上。

这里所说的“数学知识”，包括中学数学课本中的概念系统、定理系统和符号系统三大系统的基本知识。对于基本知识的理解，数学教学中应满足以下三方面的要求：一是理解基本知识的系统性，了解知识的来龙去脉及其在知识系统中的作用；二是认识基本知识的各种变形，了解知识间的内在联系；三是认识基本知识的诸多应用，了解知识在其他学科中的表现形式。如此深刻地理解和掌握基本知识，创新思维才有可能展开；客观事实也表明：记忆系统中的知识越丰富，思维的发散点和创新点才越多。

②创新思维的展开，必须建立在熟练掌握基本技能的基础上。

这里所说的“基本技能”，主要包含四方面：一是能熟练地按照一定程序和步骤进行推理或运算；二是学会使用尺规作图，使用其他工具或徒手画图；三是能运用所学知识进行一些简单的心算、估算和测量；四是能熟练地按照要求正确使用数学语言。在数学教学中，还要特别注重数学方法——主要是解题方法的培养与训练。数学解题方法是解题的基本手段，具有三个层次：第一层次是解题的具体方法与技巧，如换元法、配方法、待定系数法、数学归纳法等；第二层次是数学解题的一些通法，如综合法、分析法、直接证法和反证法、坐标和解析法等；第三层次是数学解题中的思想原则和策略，即数学思维方法，如在解题的思维过程中应遵循的总原则——熟悉化、简单化和多途化，应遵循的总策略——转化与化归，对所要解决的问题进行变形、转化，直至把它化归为某个已经解决的问题或容易解决的问题，即化归为基本的、标准的数学题。大量实例表明：一个学生具有熟练的数学基本技能和基本方法，在解答某些数学问题时，创新思维才能得以展开，推理、运算才会显得巧妙、独特，具有创造性。

③创新思维的展开，还必须建立在总结解题经验的基础上。

所谓解题经验，是某些数学知识、某种（一种或几种）数学解题方法和题中某些条件的有顺序的组合。这种组合若是有效的则为成功经验，无效的则为失败教训。成功经验所获得的有序组合，就好像是建筑上的预制构件，遇到合适的地方，可以原封不动地把它用上。

例如，我们学会了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式：

获得了一元二次方程系数与加、减、乘、除运算构成的一个有序组合（用公式表示出来），这就是解题思维工程的“预制构件”，以后凡是遇到解一元二次方程问题时，便可直接利用。

解题的成功经验，又好像是围棋上的“定式”，遇到特定的情况，运用某种“定式”下棋子，会方便快捷；反之，违反定式，有可能形成更大障碍。可见，总结解题经验，有利于促进创新思维的发展。

（2）注重“特性”训练，是培养学生创新思维的有力举措

①创新思维的三大特性。

创新思维具有流畅性、变通性和独特性。所谓流畅性，指的是在较短时间内能产生较多的想法，信息反映量多，心智活动畅通。所谓变通性，指的是思维灵活多变，不受旧有经验的限制和心理定式的束缚，能从不同角度想问题，能随机应变触类旁通。所谓独特性，指的是能从前所未有的新角度、新观点、新方法去认识事物、反映事物，提出超乎寻常的独特见解。

流畅性是创新思维的量的指标，变通性和独特性是创新思维的质的指标。显然，我们在数学教学过程中，既要注重创新思维量的指标，又要注重创新思维质的指标。只有这样，才能培养出具有创新精神和创新能力的高素质人才。

②如何实现创新思维的三大特性。

a.在一个问题面前，尽可能地提出多种设想、多种解答，思维向多方面发散，借以增强或实现创新思维的流畅性。在数学中，一空多填、一式多变、一题多问、一题多思、一题多解等形式的训练，其作用便是培养学生思维的流畅性。

例1　（IMO）设a，b，c为正实数，且满足abc＝1。

这是第36届国际数学奥林匹克试题，现在已有28种不同证法，分别运用基本法、不等式法、配方法、函数法、变换法、参数法、排序法等，显然也是一题多证的好试题。

b.在一个问题面前，思维在某一方面受阻时，马上转到另一方向，就可能产生新的思路，借以增强或实现创新思维的变通性。在数学中，或从不同角度求解，或用逆向思维寻求结果，其作用便是培养学生思维的变通性。

例2　甲、乙、丙三堆火柴按如下方式挪动：先由甲堆中取出火柴，按乙、丙两堆中的火柴数目放入乙、丙两堆；再由乙堆中取出火柴，按甲、丙两堆中的火柴数目放入甲、丙两堆；最后从丙堆中取出火柴，按甲、乙两堆中的火柴数目放入甲、乙两堆。经过这样挪动之后，三堆火柴都是8根，问：各堆原有几根火柴？

解　由于不知道初始情形，按照挪动顺序很难得出结果；但我们知道经过三次挪动后每堆都是8根，由此可以把问题倒推，得出初始情形，即甲、乙、丙分别有火柴13根、7根、4根。

c.在一个问题面前，我们总是千方百计寻求最优解法，借以增强或实现创新思维的独创性。在数学中，我们通过寻找题目的简捷解法、反常解法来培养学生思维的独创性。

例3　（IMO）设a，b，c是三角形的边长，求证：a2b（a－b）＋b2c（b－c）＋c2a（c－a）≥0。(www.xing528.com)

解　这是第24届国际数学奥林匹克试题，它有多种证法，有些证法（如换元法）也比较简便，但还有更简捷的方法，如将原式左边变形为

a（c－b）2（b＋c－a）＋b（a－b）（a－c）（a＋b－c），

由于原式左边是轮换对称式，不失一般性，可假设a≥b，a≥c，故原不等式成立。

例4　相同数量的一杯白酒与一杯红酒，取一匙白酒倒入红酒内，使之混合，再取同量的一匙混合的酒倒入白酒内，试问：白酒杯中所含的红酒比红酒杯中所含的白酒多，还是正好相反？

解　按通常的解法，假设两酒杯容量均为a，一匙的容量为b，则第一次倒入后，白酒杯中所含白酒量为a－b，第二次倒入后，……，依次计算，可以得出结论，但不少人会在烦琐的计算过程中搁浅、碰壁。因此，换一种思维，在解此题时，如果想象每个杯子中白酒与红酒是分开的，那么白酒杯中的红酒就是红酒杯中所缺少的部分，它的空缺现在正好被白酒所填补，这样就可以马上得出结论：白酒杯中所含红酒的量与红酒杯中所含白酒的量应该是一样多。

上述两种解法，前者是算法的，后者是思辨的；前者是通常的，后者是反常的。在这里，后者显得简洁而独特。

（3）狠抓思维开发，是培养学生创新思维的有效途径

创新思维是人人都具有的潜能，但需要开发。我们认为在开发学生创新思维的方式上，不应靠“灌输”和“传授”，而应是在教师引导、启发下，学生自我开发、自我创造、自我提高、自我完善。在开发学生创新思维的程序上，创新思维是与灵感、直觉、顿悟直接联系的，但是这些超常规思维若不与常规思维相比较，学生是难以掌握的。爱因斯坦说得好，“真正可贵的思维是直觉思维”，“单凭传统的逻辑思维而想有所发现是困难的，甚至是不可能的；但是，假如认为不必借助于逻辑思维而想有所发现，这同样是不可思议的事情”。

①重视直觉思维的培养。

直觉思维即灵感思维，指人们长期思考某一问题又为所思所困，一时找不到解题出路，突然遇到一个火星，出现顿悟，产生灵感（或联想），燃起智慧之光，使所思得其解。如我国古代建筑大师鲁班，日夜思考怎样把原木改变成所需的各种木料，但不得其解；一天上山，茅草的锯齿边缘划破了他的手指，由此灵光一闪，发明了锯子。这虽然是个传说，却可以说明直觉的本质和关键，易为学生理解。直觉思维是创新思维的导火线，在数学教学中，我们可以通过问题，让学生应用直觉思维试解。

例5　直角三角形的一条直角边长7厘米，另外两条边的边长都是整数，它们各边分别长多少？

在某校数学课的讨论中，一些学生认为，要由一条边来决定一个三角形是不可能的；另一些学生认为求直角三角形的边长可能有解，但会有无数组解。由此可见，按照常规的逻辑思维此题难解。然而也有学生看到了“直角”“整数”四字，就像鲁班受到茅草启发一样，马上想到了勾股定理，由推断转向列式：

转而分析a＋b与a－b的性质，得a－b须小于7，a－b能整除49。

立即得a－b＝1，a＋b＝49。

由此学生思维转入解方程，求得斜边长25厘米，另一直角边长24厘米。通过此题的探讨，学生对于直觉（灵感）思维的本质和关键有了切身体验。

②强调逻辑思维的开发。

在数学教学中，除了重视培养直觉思维，注重开发学生的逻辑思维也是极为重要的，这与发展学生的创新精神和创新能力相辅相成。在当今社会，对瞬息万变的信息进行判断和选择需要逻辑思维，没有一定的逻辑思维能力，解决问题和发展创新都将成为空中楼阁；没有系统的逻辑思维能力训练，数学的思维方式不可能建立，数学的精神、思想及意义也无法体验和领悟。因而努力开发学生的逻辑思维能力至关重要：让学生能够正确运用逻辑知识，做到概念明确，判断恰当，推理有序，方法正确；有效避免学生偷换概念、循环论证、依据不足、答非所问等逻辑性错误发生。

③注重个性思维的发展。

当今社会中，培养学生的意志、情感等非认知因素，发展学生个性，都可以诱发学生产生创新思维，是创新思维的不竭动力。数学教育在素质教育中承担着非常独特的任务，它不仅可以培养学生发现问题、分析问题、解决问题能力，而且现在学生所必备的素质在数学教育中都可得到培养和落实，如坚韧不拔而又客观公正的为人品格，严谨而又周密的思维习惯，善于把握事物的主要矛盾、洞察事物本质，把握全局、明辨是非的能力，对不断变化的现实世界的快速反应、灵活应变、有所发现、有所创新的能力等。因此，数学教育不仅要与数学的发展、教育科学的发展相适应，而且还必须与社会的进步相适应，充分反映社会的要求。

④加强创新思维的训练。

数学是与思维密切联系的科学。通过数学学习可以锻炼思维能力，反过来学生思维能力提高了，又能更好地学习数学。因而，对学生加强思维的全面训练，注意培养学生的创新思维和创新能力，既有利于数学教学，又有利于提高学生的全面素质。为了有效地培养学生的创新思维和创新精神，我们认为必须做到四要：一要打破创新发明的神秘感，确信普通智力的人都能产生创新思维；二要不唯师、不唯书、教学相长、努力实现主体性教育，给学生提供创新的时间和空间；三要破除对标准解法、标准答案的迷信，提倡独立思考，自我发展，自我创新；四要使学生切身体验到各种思维方法的本质、特点和关键所在，以便创造性地运用。