构造函数，数学教育认识实践

例13　（美国数学奥林匹克竞赛）已知a，b，c，d∈R，满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16，试确定e的最大值。

解　构造二次函数f（x）＝（x－a）2＋（x－b）2＋（x－c）2＋（x－d）2，则f（x）≥0，

即4x2－2（a＋b＋c＋d）x＋（a2＋b2＋c2＋d2）≥0，

由于二次项系数为4＞0，所以有Δ≤0，

即4（a＋b＋c＋d）2－16（a2＋b2＋c2＋d2）≤0，所以（8－e）2－4（16－e2）≤0，

例14　（柯西（Cauchy）不等式）若a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn都是实数。

等号当且仅当bi＝kai（k是常数，i＝1，2，…，n）时成立。

证明　（1）若a1，a2，…，an全为0，结论显然成立。

例15　（加拿大数学竞赛）设p（x），q（x）是两个实系数多项式，且对所有实数x，满足恒等式p［q（x）］=q［p（x）］，求证：若方程p（x）＝q（x）无实数解，则方程p［p（x）］＝q［q（x）］也无实数解。

思考　方程与函数有其紧密联系，由此构造函数

F（x）＝p（x）－q（x）。则由题设知F（x）＞0，或F（x）＜0。(www.xing528.com)

设F（x）＞0，则p（x）－q（x）＞0。

又因为p［p（x）］－q［q（x）］＝｛p［p（x）］－q［p（x）］｝＋｛q［p（x）］－q［q（x）］｝，

由p（x）－q（x）＞0，则p［p（x）］－q［p（x）］＞0，

由题设p［q（x）］≡q［p（x）］有q［p（x）］－q［q（x）］＝p［q（x）］－q［q（x）］＞0，

所以p［p（x）］－q［q（x）］＞0。

同理，由F（x）＝p（x）－q（x）＜0，有p［p（x）］－q［q（x）］＜0，

从而方程p［p（x）］＝q［q（x）］也无实数解。