连续随机变量函数的概率密度-概率统计及其应用

例2 设随机变量X的概率密度为

求随机变量Y=3X+1的概率密度.

解 先求随机变量Y的分布函数FY（y）

当y<1时，；

当1≤y<4时；

当y≥4时.

综上所述

再由概率密度与分布函数的关系知，Y的概率密度为

例3 设随机变量X～N（0，1），求Y=X2的概率密度.

解 设随机变量Y的分布函数和概率密度分别为FY（y），fY （y），则

FY(y)=P{Y≤y}=P{X2≤y}

当y<0时，FY（y）=P{X2≤y}=0；

当y≥0时，FY（y）=P{X2≤y}

于是随机变量Y的概率密度为

从上面两个例子中我们看到，求随机变量Y=g（X）的概率密度，总是先求Y=g（X）的分布函数，然后通过求导数得到Y=g（X）的概率密度，这种方法称为分布函数法.在计算过程中，关键的一步是从“Y=g（X）≤y”中解出X应满足的不等式.下面我们就g（x）是严格单调函数的情形给出一般的结果.

定理1 设随机变量X的取值范围为（a，b）（可以是无穷区间），其概率密度为fX（x），函数y=g（x）是处处可导的严格单调函数，它的反函数为x=h（y），则随机变量Y=g（X）的概率密度为

其中α=min{g（a），g（b）}，β=max{g（a），g（b）}.

证明 当g（x）处处可导且严格单调增加时，它的反函数h（y）在区间（α，β）内也处处可导且严格单调增加，即h'（y）>0.所以当y<α时，有

FY(y)=P{Y≤y}=0(www.xing528.com)

当y≥β时，有

FY(y)=P{Y≤y}=1

当α≤y<β时，有

于是Y=g（X）的概率密度为

当g（x）处处可导且严格单调减少时，它的反函数h（y）在区间（α，β）内也处处可导且严格单调减少，即h'（y）<0.于是当α<y<β时，有

从而Y=g（X）的概率密度为

合并式（1）与式（2），Y=g（X）的概率密度由定理1给出.

作为定理1的应用，下面我们证明正态分布的随机变量的线性函数仍然服从正态分布.

例4 设随机变量X～N（μ，σ2），证明：对任意实数a，b（a≠0），随机变量Y=a X+b～N（aμ+b，（aσ）2）.

证明 由题意，随机变量X于（-∞，+∞）内取值，α=-∞，β=+∞.函数y=ax+b是处处可导的严格单调函数，其反函数的导数为.Y=a X+b的概率密度为

亦即随机变量Y=a X+b～N[aμ+b，（aσ）2].

习题2.4

1.设随机变量X的分布律为

求Y=X2的分布律.

2.设随机变量X的概率密度为，求Y=2X+3的密度函数.

3.设随机变量X的概率密度为，求Y=eX的概率密度.

4.设随机变量X的概率密度为，求随机变量Y=X2+1的分布函数与密度函数.