方差计算公式及应用-概率统计及其应用（第2版）

数学期望体现了随机变量所有可能取值的平均值，是随机变量最重要的数字特征之一.但在许多问题中只知道这一点是不够的，还需要知道与其数学期望之间的偏离程度.在概率论中，这个偏离程度通常用E{[X-E（X）]2}来表示，我们有下面关于方差的定义.

定义1 设X为一随机变量，如果随机变量[X-E（X）]2的数学期望存在，则称之为X的方差，记为D（X），即

D(X)=E{[X-E(X)]2}

称为随机变量X的标准差或均方差，记作σ（X）.

由定义1可知，随机变量X的方差反映了X与其数学期望E（X）的偏离程度，如果X取值集中在E（X）附近，则方差D（X）较小；如果X取值比较分散，则方差D（X）较大.不难看出，方差D（X）实质上是随机变量X函数[X-E（X）]2的数学期望.

如果X是离散型随机变量，其概率分布律为

P{X=xk}=pk, k=1,2,…

则有

如果X连续型随机变量，其概率密度为f（x），则有

根据数学期望的性质，可得

即

这是计算随机变量方差常用的公式.

例1 设离散型随机变量X的分布律为(www.xing528.com)

求D（X）.

解 因为E（X）=（-1）×0.1+0×0.3+1×0.4+2×0.2=0.7

E(X2)=(-1)2×0.1+02×0.3+12×0.4+22×0.2=1.3

D(X)=E(X2)-[E(X)]2=1.3-0.72=0.81

可以证明：当X～B（n，p），D（X）=npq.

当X～P（λ），D（X）=λ.

例2 设X～U（a，b），求D（X）.

于是.

可以证明：当X～E（λ）时，；

当X～N（μ，σ2）时，D（X）=σ2.

这样对于X～N（μ，σ2），两个参数μ，σ2分别是X的数学期望和方差.因而正态分布完全可由它的数学期望和方差确定.