正态总体的两个常用统计量的分布

统计量是一个随机变量，它的分布通常称为抽样分布.

定理1 设X1，X2，…，Xn是来自正态总体X～N（μ，σ2）的样本，为样本均值，则有

证明 由于X1，X2，…，Xn相互独立并且Xi～N（μ，σ2）（i=1，2，…，n），因此也服从正态分布，而，所以.将标准化，有

例4 在总体N（80，202）中随机抽取一容量为100的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率.

解 由定理1知

于是

例5 设总体X～N（3.4，62），X1，X2，…，Xn为X的样本，若要使，问：样本容量n至少应取多大？

解 由定理1知

又

所以，要使，只需

查正态分布表，得.所以n=35.

定理2 设两个正态总体，分别独立地从X和Y中抽取样本[即这两个样本相互独立]，样本均值分别为，则有

证明 由定理的条件知相互独立，且

所以(www.xing528.com)

从而

例6 设总体X～N（20，3），从X中独立地抽取两个容量分别为10和15的样本X1，X2，…，X10和Y1，Y2，…，Y15，样本均值分别为，求.

解 由于X1，X2，…，X10和Y1，Y2，…，Y15相互独立且都与总体X的分布相同，因此

于是

所以

习题4.2

1.已知X1，X2，…，Xn为总体X～N（μ，σ2）的一个样本，μ未知，σ2已知，下列各式是统计量的是（　）.

2.设X1，X2，…，X6是来自总体X的样本，a是未知参数，则下列表达式中是统计量的是（　）.

3.已知X1，X2，…，Xn为总体X～N（μ，σ2）的一个样本，μ已知，σ2未知，下列各式中是统计量的是（　）.

4.设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，μ为未知参数，为已知参数，下面式子中不是统计量的是（　）.

5.设X～N（2　1，22），X1，X2，…，X25为来自总体X的简单随机样本，求：

（1）样本均值的数学期望与方差；

(2).