概率统计应用：参数区间估计

【课前导读】点估计给了参数一个明确的数量概念，只是参数的一个近似值，且并没有反映出这个近似值的误差范围，而区间估计正好弥补了点估计的这一缺点.

由于是两个统计量，因此实际上是一个随机区间，它覆盖就是一个随机事件，而就反映了这个区间估计的可信程度；另外，区间长度也是一个随机变量，反映了区间估计的精确程度.我们自然希望反映可信程度越大越好，反映精确程度的区间长度越小越好.但在实际问题中，二者常常不能兼顾.为此，这里引入置信区间的概念，并给出在一定可信程度的前提下求置信区间的方法，使区间的平均长度最短.

定义 设总体X的分布函数F（x；θ）含有一个未知参数θ，对于给定的α（0<α<1），由样本确定的两个统计量满足：，则称为θ的置信度为1-α的置信区间，1-α称为置信度或置信水平，称为双侧置信区间的置信下限，称为置信上限.

当X是连续型随机变量时，对于给定的α，我们总是按要求求出置信区间；而当X是离散型随机变量时，对于给定的α，我们常常找不到区间使得恰为1-α，此时我们取区间至少为1-α且尽可能接近1-α.

若反复抽样多次，每个样本值确定一个区间，每个这样的区间要么包含θ的真值，要么不包含θ的真值，据Bernoulli大数定律，在这样多的区间中，包含θ真值的概率约为1-α，不包含θ真值的概率约为α，比如，α=0.005，反复抽样1 000次，则得到的1 000个区间中不包含θ真值的区间仅有5个.

例1 设总体X～N（μ，σ2），σ2为已知，μ为未知，X1，X2，…，Xn是来自X的一个样本，求μ的置信度为1-α的置信区间.

解 由前知：是μ的无偏估计，且有，

据标准正态分布的α分位点的定义有：，

所以μ的置信度为1-α的置信区间为，简写成，

比如，α=0.05时，1-α=0.95，查表得：.(www.xing528.com)

又若σ=1，n=16，=5.4，则得到一个置信度为0.95的置信区间，即[4.91，5.89].

注意：此时，该区间已不再是随机区间了，但我们可称它为置信度为0.95的置信区间，其含义是“该区间包含μ”这一陈述的可信程度为95%.写成P{4.91≤μ≤5.89}=0.95是错误的，因为此时该区间要么包含μ，要么不包含μ.

若记L为置信区间的长度，则，从中得知：n增大L减小（α给定），由此可以确定样本容量n，使置信区间具有预先给出的长度.

通过上述例子，可以得到寻求未知参数θ的置信区间的一般步骤为.

（1）寻求一个样本X1，X2，…，Xn的函数（X1，X2，…，Xn；θ）；它包含待估参数θ，而不包含其他未知参数，并且U的分布已知，且不依赖于任何未知参数.这一步通常是根据θ的点估计及抽样分布得到的.

（2）对于给定的置信度1-α，定出两个常数a，b，使P{a≤W≤b}=1-α.这一步通常由抽样分布的分位数定义得到.

（3）从α≤W≤b中得到等价不等式，其中：都是统计量，则就是θ的一个置信度为1-α的置信区间.

下面就正态总体的期望和方差，给出其置信区间.