假设检验的思想与方法-概率统计及其应用

假设检验的基本思想可以用小概率原理来解释.所谓小概率原理，就是认为小概率事件在一次试验中是几乎不发生的.也就是说，对总体的某个假设是真实的，那么不利于或不能支持这一假设的事件A在一次试验中是几乎不发生的；要是在一次试验中事件A竟然发生了，我们就有理由怀疑这一假设的真实性，拒绝这一假设.

下面我们通过例子说明假设检验的基本思想和方法.

例1 某化肥厂用自动打包机包装化肥，其均值为100 kg，根据经验知每包净重X（单位：kg）服从正态分布，标准差为1 kg.某日为检验自动打包机工作是否正常，随机地抽取9包，重量如下：

99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.1,100.5

试问：这一天自动打包机工作是否正常？

本例的问题是如何根据样本值来判断自动打包机是否工作正常，即要看总体均值μ是否为100 kg.为此，我们给出假设

H0:μ=100

现用样本值来检验假设H0是否成立，H0成立意味着自动打包机工作正常，否则认为自动打包机工作不正常.在假设检验问题中，我们把与总体有关的假设称之为统计假设，把待检验的假设称之为原假设，记为H0；与原假设H0相对应的假设称为备择假设，记为H1.本例中的备择假设为H1：μ≠100.用样本值来检验假设H0成立，称为接受H0（即拒绝H1），否则称为接受H1（即拒绝H0）.(www.xing528.com)

如何检验H0：μ=100成立与否？我们知道，样本均值是μ的无偏估计，自然地希望用这一统计量来进行判断，在H0为真的条件下，的观测值应在100附近，即|-100|比较小，也就是说，要选取一个适当的常数k，使得是一个小概率事件.我们称这样的小概率为显著性水平，记为α（0<α<1）.一般地，α取0.10，0.05，0.01等.注意到当H0为真时，统计量

对于给定的显著性水平α，令

于是k=uα/2.设统计量的观测值为，如果|u|≥uα/2，则意味着概率为α的小概率事件发生了，根据实际推断原理（一个小概率事件在一次试验中几乎不发生），我们拒绝H0，否则接受H0.在本例中，若取α=0.05，uα/2=u0.025=1.96，则

因此，接受原假设H0，即自动打包机工作正常.

从本例中可以看出，假设检验的基本思想是：为验证原假设H0是否成立，我们首先假定H0是成立的，然后在H0成立的条件下，利用观测到的样本提供的信息，如果能导致一个不合理的现象出现，即一个概率很小的事件在一次试验中发生了，我们有理由认为事先的假定是不正确的，从而拒绝H0，因为实际推断原理认为，一个小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的.如果没有出现不合理的现象，则样本提供的信息并不能否定事先假定的正确性，从而我们没有理由拒绝H0，即接受H0.

为了利用提供的信息，我们需要适当地构造一个统计量，称之为检验统计量，如例1的检验统计量是.利用检验统计量，我们可以确定一个由小概率事件对应的检验统计量的取值范围，称这一范围为假设检验的拒绝域，记为W，如例1的拒绝域为W={|μ|≥μα/2}.当u∈W时，我们拒绝H0；当u∉W时，接受H0.