薄透镜成像公式及其应用

1）薄透镜的物像公式

如图12.16 所示，设组成薄透镜的材料的折射率为n，物方和像方的折射率分别为n1 和n2，透镜两个表面的半径为r1 和r2，光心为O.

S′1 为第一个球面（球面1）对S 点的成像.然后S′1 再经第二个球面成像于S′.于是S′为S 点最终成像.透镜可看作两个单折射球面共轴系统.把球面折射成像公式（12.16）相继地应用于透镜的两个表面，即球面1 和球面2，可得

图12.16　透镜的物像关系

式（12.21）就是近轴条件下薄透镜的物像公式.

2）薄透镜的光焦度与焦距

由式（12.22）可得薄透镜的总光焦度为

可见，薄透镜的总光焦度等于两个单折射球面的光焦度之和.

根据焦距的定义，可得物方焦距f 为

像方焦距f′为

由式（12.23）和式（12.24）可知：

（1）薄透镜的总光焦度不仅与透镜本身有关，还与透镜两侧的介质密切相关.因此，在判断透镜是会聚透镜还是发散透镜时，不能单看透镜的形状，还要看透镜两侧的介质，即要根据薄透镜的总光焦度决定薄透镜的作用.若Φ ＞0，则f′＞0，这类透镜称为会聚透镜，具有一对实焦点；反之，若Φ ＜0，则f′＜0，这类透镜称为发散透镜，有一对虚焦点.透镜的焦距f 越小，其光焦度的数值越大，对光的会聚（或发散）作用越大.因此，光焦度的大小直接反映透镜对光的会聚（或发散）能力的大小.过两个焦点F、F′分别作垂直于主轴的平面，在近轴条件下，这两个平面分别称为物方焦平面和像方焦平面.(www.xing528.com)

（2）当薄透镜两边的折射率不同时，两个焦点分别在透镜两侧，且不对称.如果把薄透镜放在同一种介质中，即n1 ＝n2 ＝n′，则有

此时，薄透镜的两个焦距大小相等、符号相反，且对称地分布在透镜的两侧.

通常情况下，薄透镜置于空气中，即n′＝1，此时

式（12.26）给出了薄透镜的焦距与折射率、曲率半径的关系，故称为磨镜者公式.把焦距公式（12.23）和式（12.24）代入式（12.21），并进行整理可得

这就是薄透镜的高斯公式.

例12.3　有一等曲率半径的薄双凸透镜，其折射率为1.5，在空气中的焦距为15 cm.试求：（1）将其置于空气中时，其曲率半径应为多大？ （2）若将另一个薄双凸透镜处于左边为空气，右边为水（折射率为4／3）的条件下，并保持透镜与空气接触界面的曲率半径与上相同，若仍要保持其焦距为15 cm，则和水接触的球面的曲率半径应为多大？

解　（1）已知f′＝15 cm、n ＝1.5、r1 ＝－r2，根据薄透镜的焦距公式

即

得

即和水接触的球面的曲率半径为r2 ＝6 cm.