夫琅禾费圆孔衍射与大学物理学

单缝衍射屏换为圆孔衍射屏时，在接收屏上可以得到夫琅和费圆孔衍射的图样.由于一般光学仪器都是由若干透镜组成，透镜的边框相当于一个圆孔，因此研究圆孔衍射对于提高光学成像系统的成像质量具有重要的实际意义.

1）夫琅禾费圆孔衍射

如果在观察夫朗禾费单缝衍射的实验装置中，用小圆孔代替狭缝，将出现环形衍射斑.环形衍射斑的中央是一个较亮的圆斑，它集中了全部衍射光能量的84%，称为艾里斑.艾里斑的外围是一组明暗相间的环纹，环纹的强度与艾里斑相比很弱，且随衍射级次的增大迅速下降，如图12.45 所示.

根据惠更斯⁃菲涅耳原理，同样可以用半波带法计算各级衍射条纹的分布.但由于衍射屏的几何形状不同，计算圆孔衍射的条纹分布时，半波带划分方法与单缝衍射有所不同.通过理论计算可以得到圆孔衍射时，一级暗环对应的衍射角θ1，即

图12.45　圆孔衍射和艾里斑

式中，λ 为入射光的波长；D 为小圆孔的直径.上式表明，波长一定时，圆孔直径越小，艾里斑越大，衍射越显著；圆孔直径一定时，光波的波长λ 越长，艾里斑越大，衍射越显著.

衍射角θ1 即为艾里斑的角半径.通常情况下，衍射角很小，故有

若透镜L2 的焦距为f，则艾里斑的半径r 可写作

由此可以看出，艾里斑的半径r 与光波的波长λ 成正比，与衍射孔径D 成反比.或者说光波的波长越长，艾里斑越大；衍射孔径越大，艾里斑越小.

2）光学仪器的分辨本领

光学仪器观察微小物体时，不仅需要有一定的放大能力，还要有足够的分辨本领，才能把微小物体放大到清晰可见的程度.根据几何光学的成像原理，物点和像点一一对应，适当选择透镜的焦距和物距，总可以得到足够大的放大倍数.然而，由于光的衍射作用，物点的像并不是一个几何点，而是圆孔衍射图样，其主要部分就是艾里斑.如果两个物点距离太近，它们的像会相互重叠以致不能分辨出究竟是一个物点还是两个物点.可见，光的衍射限制了光学仪器的分辨本领.

如何确定一个光学仪器的分辨本领？ 或者说，在什么条件下能从两个艾里斑判断出两个物点？ 瑞利对此提出一个标准：如果一个艾里斑光强最大的地方正好是另一个艾里斑光强最小的地方，也即一个艾里斑的中心正好是另一个艾里斑的边缘，此时两个艾里斑之间的最小光强约为中央最大光强的80%.对于大多数人来说，恰好能辨别出是两个光点，这个标准称为瑞利准则.如图12.46 所示，两物点恰能分辨时，两艾里斑中心的距离正好是艾里斑的半径.因此，两个相邻物点的最小分辨角应等于艾里斑的角半径，即(www.xing528.com)

图12.46　分辨两个衍射图像的条件

从式（12.81）可以看出，最小分辨角的大小由仪器的孔径D 和入射光的波长λ 决定.对于光学仪器来说，最小分辨角越小越好.定义光学仪器的分辨率为

它表明了光学系统的分辨本领，R 越大，光学系统的分辨本领越大.显然，光学仪器的分辨率越大越好.式（12.82）表明，分辨率的大小与仪器的孔径D 成正比，与入射光波的波长λ 成反比.

瑞利准则为设计光学仪器提出了理论指导，如天文望远镜可用大口径的物镜来提高分辨率，2009 年5 月欧洲航天局发射的赫歇尔远红外线太空望远镜的凹面物镜的直径为3.5 m，对波长为10 μm 的远红外光，其分辨角约为0.072″.对于电子显微镜则用波长短的射线来提高分辨率，显微镜的分辨极限不是用最小分辨角而是用最小分辨距离来表示.其最小分辨距离为

式中，n 为物方折射率；u 为孔径对物点的半张角；n sin u 称为显微镜的数值孔径，用符号N.A.表示.显微镜的分辨率为

可见，要提高显微镜的分辨本领，就要增大显微物镜的数值孔径，或减小使用光波的波长.由于数值孔径的最大值目前在1.5左右，故显微镜的最小分辨距离为0.4λ 采用波长为10－3nm 的电子波做成的电子显微镜的最小分辨距离为4×10－4 nm，可以对分子、原子的结构进行观察.

例12.12　通常人眼瞳孔直径约为3 mm，人眼最敏感的波长是550 nm 的黄绿光，人眼的最小分辨角多大？ 在上述条件下，若有一个等号，两条线的间距为1 mm，问等号距离人多远处恰能分辨出不是减号.

解　人眼的最小分辨角