篮球比赛真的有手热效应吗？

伯尔赫斯·弗雷德里克·斯金纳（Burrhus Frederic Skinner）是一位心理学家，堪称现代心理学界的杰出代表。斯金纳是行为主义心理学的领袖，他的锋芒令弗洛伊德的信徒们惴惴不安。在他的领导下，行为主义心理学足以与精神分析学分庭抗礼。行为主义只关注看得见和可以测量的行为，而不要求对无意识或者有意识的行为动机做出任何假设。在斯金纳看来，心理研究理论就是行为研究理论，因此，有心理学研究价值的项目根本不会关注思想或感情，而会关注通过强化方式实现的行为操控。

很多人可能不知道，斯金纳曾是一位不得志的小说家。在汉密尔顿学院求学时，斯金纳主修英语，但是他与化学教授、唯美主义者波西·桑德斯（Percy Saunders）交往甚密，桑德斯的家就像一个文艺沙龙。斯金纳喜欢埃兹拉·庞德（Ezra Pound）的诗、舒伯特（Schubert）的音乐，他还动笔写了一些诗，（例如，“夜里，他停了下来，喘着气/对着留在尘世的妻子喃喃低语/‘爱情让我心力交瘁！’”）并发表在学院的文艺杂志上，在青年学生中深受欢迎。大学毕业后，他参加了布雷德罗夫作家创作班，其间他创作了“一部独幕剧，剧中的江湖医生可以利用激素改变人们的性格”，他还把自己写的几部短篇小说寄给了诗人罗伯特·弗罗斯特（Robert Frost）。弗罗斯特在给斯金纳的信中称赞了他的这几部小说，并给出了一些建议：“作家必须具备的一项能力，是在创作时可以坚定地直接利用某些不负责任、几乎无法克服的个人偏见……我认为，每个人都心存偏见，都会花时间琢磨、感受这些偏见，为自己的说话与写作提供素材。但是，大多数人往往选择在作品中表现其他人的偏见，于是他们的创作生涯就此终结。”

1926年夏天，在受到弗罗斯特的这番鼓励之后，斯金纳搬进了父母在斯克兰顿的一间阁楼里，正式开始了写作生涯。不过，他发现，找到自己的偏见并不容易，即使找到了，也很难用文学的形式表现出来。因此，他在斯克兰顿的那段岁月里一无所获。在那间阁楼里，他写了几篇小说，还创作了一首关于工人领袖约翰·米切尔（John Mitchell）的十四行诗，但是大部分时间里他都忙着修舰船模型，用无线电接收从匹兹堡和纽约传过来的远程信号。当时，人们刚刚学会用无线电来消磨时间。

后来，斯金纳在谈及这段经历时说：“从事文学创作之后，所有事情都会导致我产生强烈的反应。创作失败是因为我找不到有价值的素材，但是我无法接受这个理由。我觉得，错不在我，而在于文学创作本身。”有时他甚至直言不讳地说：“文学创作就应该被废止。”

斯金纳经常阅读《日晷》（The Dial）这份文学杂志。在这份杂志上，他读到了伯特兰·罗素的哲学作品，通过罗素，他又接触到行为主义的第一个倡导者、伟大的心理学家约翰·华生（John Watson）的作品（随后不久，行为主义几乎成了斯金纳的代名词）。华生认为，科学家需要完成的唯一工作就是观察实验结果，而根本不需要对意识或灵魂提出各种假设。他有一句名言：“从来没有人在试管中触摸或者看到过灵魂。”这个无情的批驳令斯金纳为之折服，于是他怀着把这种含糊的、不真实的自我从行为科学研究中剔除出去的理想，来到哈佛大学攻读心理学硕士学位。

在一次实验中，一种自发的言语行为给他留下了深刻的印象。当一台机器不断地发出有节奏的背景音时，斯金纳发现自己正在跟随这个节拍无声地重复一句话：“你永远出不来，你永远出不来，你永远出不来。”这个过程就好像演讲，甚至有点儿像诗歌朗诵，但实际上是自言自语，说话者根本意识不到自己的这种行为。斯金纳一直对自己在文学创作上遭遇的失败耿耿于怀，而这个发现为他提供了反击的武器。他想，语言，甚至那些伟大诗人们使用的语言，是否有可能仅仅是另外一种行为，是在实验室里通过刺激手段训练而成并且可以操控的行为呢？

在大学期间，斯金纳模仿过莎士比亚的十四行诗。他利用彻底的行为主义的方式回顾了这段经历，并称“这段经历非常奇怪，符合格律、韵脚整齐的诗句信手拈来，令人无比兴奋”。作为明尼苏达大学一位年轻的心理学教授，斯金纳认为那些名言佳句并不是莎士比亚创作的，而是早已存在，只不过借他的笔粉墨登场而已。这样的评价在现在看来非常疯狂，但是在当时，连“细读”（close reading）这种主流文学评论形式也与斯金纳的评论一样带有华生心理学的痕迹，凸显出行为主义者对词语本身的喜好，而作者的意图却因为无法直接观察到而遭到忽视。

莎士比亚善于运用头韵修辞法（连续几个单词都以相同发音的字母开头），例如，“Full fathom five thy father lies”。但是斯金纳认为，例证并不是科学的证明方法。莎士比亚用过头韵修辞法吗？如果用过，我们就可以用数学方法加以证明。斯金纳指出：“要证明某个地方采用了头韵修辞法，我们需要取一个大小适中的样品，对其中所有单词首字母发音的分布情况进行统计分析，分析结果才是可以利用的证据。”那么，该采取哪种统计分析方法呢？当然是显著性检验！在这种统计分析中，零假设为“莎士比亚根本没有注意单词首字母的发音情况，因此诗歌中某一个单词的首字母不会对该行诗中其他单词造成任何影响”。这项假设与临床试验非常相似，但是也有一个很大的不同：斯金纳的目的是颠覆文学，因此他希望零假设成立；而在测试某种药物的疗效时，生物医学研究人员则一心想推翻零假设，证明该药物有显著疗效。

在零假设前提下，如果同一行诗中多个单词的首字母发音相同，即使将该行诗中的单词打乱次序、随机排列，这些发音重复出现的频率也不会改变。斯金纳选取了100首十四行诗作为样本进行了统计分析，结果正好与零假设相符。也就是说，莎士比亚没能通过显著性检验。于是，斯金纳指出：

尽管十四行诗中看似使用了大量的头韵修辞法，但是没有显著性的证据证明这些诗歌的确运用了头韵修辞法，这值得我们关注。因此，莎士比亚的这些诗句不过是他的妙手偶得。

“看似大量”这样的说法绝对是强词夺理，它赤裸裸地表现了斯金纳希望为心理学营造的精神实质。弗洛伊德声称看清了之前是隐藏的、抑制的或者含混的东西，而斯金纳的目标正好相反——否认看上去一目了然的存在。

然而，斯金纳所使用的证明方法并不正确。显著性检验与望远镜一样，都是一种工具，但各种工具的作用并不相同。在观察火星时，如果我们使用的是专业级别的天文望远镜，我们就能看到火星的卫星；如果使用的是双筒望远镜，则无法看到卫星。但是，无论我们能否看到，卫星都存在！同样，莎士比亚诗中的头韵修辞法也必然存在。据文学史家的考证，头韵是当时普遍采用的修辞方法，几乎所有用英文写作的人都掌握了这种方法，并有意识地使用它。

斯金纳的观点是：莎士比亚没有大量使用头韵修辞法，因为显著性检验没有发现首字母发音重复出现的频率超过常态。但是，非得如此才能说明莎士比亚使用了头韵修辞法吗？诗歌中头韵修辞法的使用是把双刃剑，在某些地方可以实现预期效果，但如果滥用就会适得其反，因此在某些地方作者会有意识地避免使用头韵修辞法。诗人也许希望头韵修辞法的数量在总体上有所增加，但是即便如此，增加的数量也不能太多。在写十四行诗时，如果硬要塞一两个头韵修辞法进去，就会导致诗歌的韵律过于僵硬。莎士比亚的信徒、伊丽莎白时期的诗人乔治·加斯科因（George Gascoigne）曾经嘲讽过这种现象：“诗中使用同一个字母开头的单词，（如果使用得当）可以为诗歌增色，但是很多诗人不加节制地滥用，导致这种手法变得稀松平常——Crambe bis positum mors est。”

最后这句拉丁语的意思是“大白菜吃多了也会要人命”。虽然在莎士比亚的作品中这种修辞方法常常出现，但他从来不会不加节制地把这种修辞方法变成“大白菜”。因此，斯金纳那些粗略的检验手段是不可能有所发现的。

在统计研究中，如果无法检验到预期的效果，则被称作“统计功效不足”。就像用双筒望远镜观测恒星一样，无论这颗恒星的周围是否有卫星，观测结果都相同，这就是在做无用功。因此，我们在需要使用天文望远镜时，绝不会使用双筒望远镜。在研究英国节育工作所面临的恐慌问题时，统计功效低下还不是最严重的问题。在检验节育效果时，高效的统计研究可能会把我们的目光引向其实并不重要的细微效果，而功效不足的统计研究却会导致我们忽略某个细微效果。

我们以密歇根大学男子篮球队的后卫斯派克·阿布瑞克特（Spike Albrecht）为例。2013年美国大学生体育协会（NCAA）篮球决赛开始时，没有人预料到这位身高约1.8米，在赛季的大部分时间里都担任替补队员的一年级新生，竟然会在密歇根大学狼獾队与路易维尔大学篮球队的比赛中大放异彩。在比赛的上半场，阿布瑞克特在10分钟内连中5球，其中4个为三分球，带领密歇根队以10分的优势领先于被普遍看好的对手。用球迷的话来说，阿布瑞克特的手“热得发烫”，无论距离篮筐有多远、防守多么凶悍，他照样能投篮得分。

不过，人们认为这样的情况是不应该发生的。1985年，托马斯·基洛维奇（Thomas Gilovich）、罗伯特·瓦朗（Robert Vallone）与阿莫斯·特沃斯基（Amos Tversky）——简称“GVT”——完成了一项研究，并发表了一篇名噪一时的认知心理学论文。对于篮球迷而言，这项研究相当于莎士比亚拥趸眼中的斯金纳研究。GVT收集了1980～1981赛季费城76人队全部48场主场比赛的所有投篮记录，然后进行了统计分析。如果所有球员都有“手冷”“手热”的时候，那么按照预期，一位球员在投中一球之后，下一次投篮命中的可能性会更高。GVT就这个观点在NBA球迷中做了一次调查，结果发现大多数球迷表示同意。有9/10的球迷认为，球员在连续投中两三个球之后，下一次投篮命中的可能性更大。

但是，费城76人队的表现却与这些球迷的看法大相径庭。伟大的“J博士”朱利叶斯·欧文（Julius Erving）的总命中率为52%。在他连中三球之后，我们会认为他的手很“热”，但是，他随后的投篮命中率却降至48%。在连续投丢三球之后，投篮命中率并没有继续下降，而是升至52%。“巧克力炸弹”达瑞尔·道金斯（Darryl Dawkins）等其他球员的表现则更加离谱。在投中一球之后，道金斯的投篮命中率由62%跌至57%；在投丢一球之后，投篮命中率却飙升至73%。这种现象与球迷的预期完全相反。（可能的原因是：投篮失手表明道金斯身边的防守球员有很好的防守表现，因此他会采用大力扣篮的标志性动作来完成投篮。道金斯把自己的这个动作称为“当面羞辱”“霹雳旋风式扣篮”。）

这个发现是否说明“手热”这样的现象并不存在呢？其实不然。所谓“手热”，通常并不是指连续命中的情况，而是指场上球员在短暂的时间里拥有超级球星般的耀眼表现。这种状态持续的时间较短，它何时会到来、何时会消失，无迹可寻。在10分钟的时间里，阿布瑞克特摇身一变，成了雷·阿伦（Ray Allen）式的投手，掀起了无情的“三分风暴”，但随后他又变回阿布瑞克特。统计检验能发现这个奥秘吗？从理论上讲，为什么不能呢？GVT想出了一个办法，可以巧妙地研究这些势不可当的精彩瞬间，即把每位球员的赛季投篮记录分解成每4次投篮为一组的序列。如果“J博士”的投篮命中（H）与投篮失手（M）序列为：

HMHHHMHMMHHHHMMH

那么，每4次投篮为一组的序列就是：

HMHH，HMHM，MHHH，HMMH……

GVT分别统计9名球员的序列中“优秀”（3次或4次命中）、“中等”（2次命中）及“较差”（没有命中或1次命中）的个数。他们的零假设是：根本不存在“手热”现象。

4次投篮可能产生16种序列：第一次投篮的结果可能是H，也可能是M，无论是哪种结果，又都会在第二次投篮时分别产生两种可能的结果，因此前两次投篮会产生4种可能的结果（HH，HM，MH，MM）。在第三次投篮时，这4个结果又会分别产生两种可能的结果，即8种。在第四次投篮时，上述结果将再次加倍，变成16种。因此，按照“优秀”“中等”“较差”分类：(www.xing528.com)

优秀：HHHH，MHHH，HMHH，HHMH，HHHM。

中等：HHM，HMHM，HMMH，MHHM，MHMH，MMHH。

较差：HMMM，MHMM，MMHM，MMMH，MMMM。

对“J博士”这种投篮命中率为50%左右的球手而言，所有16种序列出现的概率是一样的，因为每次投篮结果为H或M的概率相同。因此，我们可以预测在“J博士”的4次投篮结果序列中，“优秀”序列的概率是5/16，即31.25%，“中等”与“较差”序列的概率分别是37.5%与31.25%。

如果“J博士”真的有手很“热”的时候，我们可以想象，由于在那些场次的比赛中，“J博士”几乎百发百中，因此“优秀”序列出现的概率将有所提高。“手热”和“手冷”的情况越明显，越有可能得到HHHH和HMMM这两种序列，HMHM出现的可能性则会变小。

显著性检验要求我们处理下面这个问题：如果零假设正确，即真的没有“手热”这种现象，我们是不是不大可能看见实际观察所得的那些结果呢？研究证明，这个问题的答案是否定的。在实际的统计数据中，“优秀”“较差”“中等”序列出现的概率与预测的概率比较接近，两者之间的差异非常小，不具有统计学显著性。

GVT认为：“如果这个结果让人大吃一惊，那是经验丰富、见多识广的观察者在坚持‘手热’这个错误信念时表现出的鲁棒性（robustness）所导致的。”的确，在心理学与经济学领域，人们认为GVT的研究结果符合传统观点并迅速接受，但是在篮球领域，他们的研究结果却迟迟得不到认可。特沃斯基对这种状况并不担心，因为他享受的是研究过程，而不是结果。他说：“这个论题我已经证明了上千次，每次我都能让他们哑口无言，但是每次我都无法让他们信服我的结论。”

不过，GVT与他们的前辈斯金纳一样，仅仅回答了问题的一个方面：如果零假设为真，即不存在“手热”现象，那么结果会怎么样呢？对此GVT给出了证明：检验结果与观察到的真实数据非常接近。

但是，如果零假设不正确呢？如果手热现象存在，而且是一个极为短暂的过程，那么其在用严格的数字系统表示它的效果时，数值也不大。联盟中最差球手的投篮命中率为40%，最优秀球手的投篮命中率为60%，从这个方面看，两者之间的差异是非常大的，但是从统计学的角度看，差异并没有那么明显。如果手热现象真的存在，那么投篮结果序列会是什么样？

2003年，计算机科学家凯文·科布（Kevin Korb）与迈克尔·斯蒂尔韦尔（Michael Stillwell）合作完成的一篇论文回答了这个问题。他们的计算机模拟实验对手热现象进行了研究：在整个实验过程中，计算机模拟的球员在两个“手热”时段分别投篮10次，结果该球员的投篮命中率飙升至90%。这些模拟实验使用的显著性检验方法就是GVT所采用的那些方法，尽管检验所设定的零假设完全不正确，但有3/4的检验结果却表明我们没有理由认为该零假设是错误的。

如果我们认为模拟实验未必能说明问题，那么我们来考虑一下真实的情况。各球队在防守方面的表现有强有弱。2012～2013赛季，“小气”的印第安纳步行者队只允许对手投进42%的球，而克里弗兰骑士队则送给对手47.6%的投篮命中率。因此，球员的确会有可预测的“手热”时间，也就是说，与骑士队比赛时，步行者队的投篮命中率要高一些。但是，这种“手热”仅仅是比较温和的现象（也许我们可以称之为“有点儿发热”），而GVT采用的检验方法不够灵敏，无法检验出这类现象。

在本次检验中，GVT应当回答的问题不是显著性检验经常回答的那类“是-否”问题，比如，“篮球运动员在投篮命中率方面是否有起伏？”他们应该回答的问题是，“他们的投篮得分能力与时间之间存在多大的联系，观察者在多大程度上可以预测到真实生活中球员的‘手热’时间？”这个问题的答案肯定是：“没有人们预想的那么大，几乎不可能预测。”最近的一项研究发现，在两次罚球中第一罚命中的球员，第二罚命中的可能性略高一点儿。但是，如果不考虑球员与教练的主观因素，尚未发现有令人信服的证据支持“实际比赛中存在‘手热’现象”的观点。“手热”状态的持续时间极短，因此证明其不存在的难度非常大，而证明其存在的难度同样不小。GVT的核心论点是：人类倾向于在不存在规律的地方总结出规律，在存在某种规律的地方又会夸大这些规律的影响力。他们的这个观点无疑是正确的。如果我们长期关注投篮结果，就会经常看到某个球员连中5球。在大多数情况下，这样的表现不仅仅是得益于卓越的球技，还有其他因素在发生作用：对方球员漫不经心的防守、对投篮时机的明智把握、运气极好，其中第三个因素起作用的可能性最大。因此，在某个球员连中5球之后，我们没有理由认为他再中一球的可能性会特别大。在分析投资顾问的表现时，我们也会遇到同样的问题。多年以来，对于是否存在投资技巧，以及不同基金的投资回报率大小是否完全是运气使然等问题，人们一直争论不休。即使真的有暂时或一直“手热”的投资人，人数也非常稀少，对GVT的统计研究所产生的影响也很小，甚至没有。在基金市场上连续5年都取得投资佳绩，更有可能是因为运气极佳。过去的业绩不能保证未来的收益，如果密歇根的球迷指望阿布瑞克特率领球队高歌猛进夺取冠军，他们就会失望而归。在决赛的下半场，阿布瑞克特连投不中，最终狼獾队以6分之差输掉了比赛。

2009年，约翰·赫伊津哈（John Huizinga）与桑迪·韦尔（Sandy Weil）完成的一项研究表明，即使“手热”现象真的存在，球员也不应该依赖它！赫伊津哈与韦尔收集的数据比GVT多得多，最终他们从这个数据集中发现了类似的效应：在投中一球之后，球员再次命中的可能性会变小。不过，赫伊津哈与韦尔收集的数据中不仅包括投篮得分的情况，还包括投篮的位置变化情况，后者对这个效应给出了一个令人意想不到的解释：球员在投中一球之后，再次投篮时会面临更多的困难。2013年，在上述研究的基础上，伊加尔·阿塔利（Yigal Attali）得出了一些更有趣的结论。与刚刚投篮失败的球员一样，轻松投篮得分的球员在下一波进攻中不大可能会尝试远投，也不会觉得自己“手热”。但是，与尝试三分球失败的球员相比，成功投进三分球的球员接下来尝试远投的可能性要大得多。换句话说，球员在认为自己手热时会信心满满，即使不应该投篮时也会出手，因此，“手热”有可能会“功过相抵”。

本书不再赘述股票投资市场上的类似现象，请大家自行分析它们的特性。

【注释】

[1]18英寸≈45.72厘米。——编者注

[2]3.8磅≈1.723千克。——编者注

[3]长期以来，人们一直为“自然数”是否应该包括“0”这个毫无意义的问题争论不休。如果读者朋友坚持认为不应该包括“0”，就当我在这里没有提到“0”。

[4]读者可能会有异议，认为费舍尔采用的是统计学方法，而不是数学方法。我的父母都是从事统计学研究的，因此我知道这两个学科之间确有分界线。不过，在撰写本书时，我把统计学思维看作数学思维的一个门类，因此，我在这里把费舍尔采用的方法既看作统计学方法，也看作数学方法。

[5]阿布斯诺特把男婴数量略高的倾向性看作可以证明神圣天意存在的论据：由于战争及事故中死于非命的成年男性高于女性，因此必须有人或者神做出适当的调整，使新生儿中男性多于女性，以便平衡人口的性别比例。

[6]“群”的数学定义比这个解释复杂，但遗憾的是，面对各种各样的“群”，我们在这里只能点到为止。

[7]blow up本义为“爆炸”，数学上意指“把（函数）变成无限大”。