应用积分中值定理解题

例3.27（北京市1993年竞赛题）　设函数f（x）在［a，b］上连续且非负，M是f（x）在［a，b］上的最大值，求证：

解析　设f（ξ）=M=

（1）若ξ∈（a，b），则存在N∈N，当n＞N时，⊂［a，b］.应用积分中值定理，存在使

由于f（x）连续，=ξ及

运用夹逼准则得

（2）当ξ=a或ξ=b时证明是类似的，这里从略.

例3.28（北京市1997年竞赛题）　设函数f（x）在区间［a，b］上具有连续导数，证明：

解析　n等分区间［a，b］，分点分别为a=x0＜x1＜…＜xn-1＜xn=b；记h=，则xk=a+kh（k=1，…，n）.因此，上式

其中ξk∈（xk-1，xk），ηk∈（ξk，xk）.

例3.29（南京大学1995年竞赛题）　已知f（x）∈C［0，1］，b＞a＞0，求

解析　应用积分中值定理，∃ξ∈（aε，bε），使得

例3.30（莫斯科民族友谊大学1977年竞赛题）　设f（x）在［a，b］上连续，对一切α，β（a≤α＜β≤b），有

其中M，δ为正常数.求证：f（x）≡0，x∈［a，b］.

解析　∀x0∈［a，b］，应用积分中值定理，有

这里x0+h∈［a，b］，h≠0，0＜θ＜1，所以(www.xing528.com)

由于M＞0，δ＞0，，且f（x）在x0处连续，得

由x0∈［a，b］的任意性得f（x）≡0，x∈［a，b］.

例3.31（江苏省1991年竞赛题）　设f（x）为［0，+∞）上单调减少的连续函数，试证明：≥0.

解析　记F（x）=，则

应用积分中值定理，必存在ξ∈（0，x），使得=f（ξ）x，于是

F′（x）=2x2（f（ξ）-f（x））

由于f（x）在［0，+∞）上单调减少，故f（ξ）≥f（x），从而F′（x）≥0，所以F（x）在［0，+∞）上单调增，又F（0）=0，故F（x）≥0.

例3.32（莫斯科电气学院1977年竞赛题）　设φi（x）∈C［a，b］，其中i=1，2，3，…，且=1，求证：∃N∈N及常数ci（i=1，2，…，N），使得

解析　取N∈N，且N＞10000（b-a），则

应用积分中值定理，∃ξ∈（a，b），使得

取

则=1.且由（1），（2）两式可得

于是