条件极值求解：利用一元函数和拉格朗日乘数法的方法

1）求函数z=f（x，y）满足约束方程φ（x，y）=0的极值，称为条件极值.解决此问题有两种方法，一是由φ（x，y）=0解出y=y（x）（或x=x（y））代入函数f（x，y）得到一元函数z（x）=f（x，y（x）），利用一元函数求极值的方法解决；二是利用拉格朗日乘数法，其步骤如下.

（1）作拉格朗日函数：令

F（x，y，λ）=f（x，y）+λφ（x，y）

（2）求拉格朗日函数的驻点：由方程组

解得驻点（a，b，λ0）.

（3）如果原问题存在条件极大值（或条件极小值），而上述求得的拉格朗日函数F的驻点是惟一的，则f（a，b）即为所求的条件极大值（或条件极小值）；如果原问题既有条件极大值又有条件极小值，而上述求得的拉格朗日函数的驻点有两个，即（a1，b1，λ1），（a2，b2，λ2），则max｛f（a1，b1），f（a2，b2）｝即为所求的条件极大值，而min｛f（a1，b1），f（a2，b2）｝即为所求的条件极小值.

2）求函数u=f（x，y，z）满足约束方程φ（x，y，z）=0的极值，称为条件极值.解决此问题最好直接利用拉格朗日乘数法，其步骤如下：

（1）作拉格朗日函数：令

F（x，y，z，λ）=f（x，y，z）+λφ（x，y，z）

（2）求拉格朗日函数的驻点：由方程组(www.xing528.com)

解得驻点（a，b，c，λ0）.

（3）对于函数值f（a，b，c）进行与上述f（a，b）完全相同的说明.

3）求函数u=f（x，y，z）满足两个约束方程φ（x，y，z）=0与ψ（x，y，z）=0的极值，称为条件极值.解决此问题有两种方法，一是由解出y=y（x），z=z（x），代入函数f（x，y，z）得到一元函数u（x）=f（x，y（x），z（x）），利用一元函数求极值的方法解决；二是利用拉格朗日乘数法，其步骤如下：

（1）作拉格朗日函数：令

F（x，y，z，λ，μ）=f（x，y，z）+λφ（x，y，z）+μψ（x，y，z）

（2）求拉格朗日函数的驻点：由方程组

解得驻点（a，b，c，λ0，μ0）.

（3）对于函数值f（a，b，c）进行与上述f（a，b）完全相同的说明.