多元函数有界闭域上的最值求解

例4.40（莫斯科自动化学院1975年竞赛题）　求函数z=x2+y2-xy在区域D：|x|+|y|≤1上的最大值与最小值.

解析　首先在D的内部：|x|+|y|＜1，由

=2x-y=0，=2y-x=0

解得驻点P1（0，0）.

在边界x+y=1（0＜x＜1）上，令

F=x2+y2-xy+λ（x+y-1）

由=2x-y+λ=0，=2y-x+λ=0，=x+y-1=0，解得拉格朗日函数F的驻点

同上，在边界y-x=1（-1＜x＜0）上，可求得相应的拉格朗日函数的驻点；在边界-x-y=1（-1＜x＜0）上，可求得相应的拉格朗日函数的驻点在边界x-y=1（0＜x＜1）上，可求得相应的拉格朗日函数的驻点P5又记四个边界线段的交点分别为P6（1，0），P7（0，1），P8（-1，0），P9（0，-1）.

函数z（x，y）的最大值与最小值只能在上述9个点Pi（i=1，2，…，9）中取得，于是有(www.xing528.com)

例4.41（江苏省2006年竞赛题）　用拉格朗日乘数法求函数f（x，y）=x2++2y2在区域x2+2y2≤4上的最大值与最小值.

解析　在x2+2y2＜4内，由得惟一驻点P1（0，0）.在x2+2y2=4上，令

由

将4（1+λ）乘以（1）式减去乘以（2）式，得（8λ2+16λ+6）x=0.若8λ2+16λ+6≠0，则x=0，由（1）和（2）式得y=0，与（3）式矛盾.故8λ2+16λ+6=0，解得

当λ=-时解得驻点

当λ=-时解得驻点

又f（P1）=0，f（P2）=2，f（P3）=2，f（P4）=6，f（P5）=6，故

fmin=0，fmax=6