实用数学方法：基本理论与因子分析

因子分析的因子fi和原来变量xi之间的模型和关系（假定原先有n个较强相关性的变量x1 ,x2,…,xn及k个不可观测因子f1 ,f2,…,fk，k＜n），每个xi可由k个公共因子f 1,f2,…,fk和自身对应的独特因子ui线性表出：

用矩阵表示：

简记为

这里的aij为第i个变量xi和第j个因子fj之间的线性相关系数，也称为载荷，体现了第i个变量xi和第j个公共因子fj 上的权重，反映了第i个变量xi和第j个公共因子fj 上的重要性，矩阵A称为因子载荷矩阵。前两个成分的载荷图就是点（a11，a12），（a21，a22），…，（an1，an2）等。满足以下条件：

（1）k≤n；

（2）Cov(F ,U)=0（即F,U不相关）；

（3）E (F)=0,Cov(F)=I k （即公共因子F是不可观测的随机变量，F间不相关，相互独立）；

（4）E (U)=0,Cov(U)=I n，即u1 ,u2,…,un不相关，且都是标准化的变量，假定x1 ,x2,…,xn也是标准化的。

因子分析后得到因子得分函数：(www.xing528.com)

因子分析的目的就是以不可观测因子f 1,f2,…,fk（其含义须结合实际问题确定）代替可测变量x1 ,x2,…,xn，由于一般有k≤n，可以达到降维的目的。代入每个观测值的x1，x2，…，xn，可以算出因子得分。

建立因子分析数学模型的目的不仅要找出公共因子f 1,f2,…,fk 并对变量进行分组，更重要的是要知道每个公共因子的意义，按公共因子包含变量的特点（即公因子内涵）对因子解释命名，以便对实际问题作科学分析。为此，当因子载荷阵的结构不便对主因子进行解释时，由因子载荷阵的不唯一性和线性代数的知识，我们对因子载荷阵施行一次正交变换，对应坐标系就有一次旋转。这种变换因子载荷阵的方法为因子轴的旋转，目的是使初始因子载荷阵经一系列旋转后结构简化，即达到以下原则：

（1）每个公共因子只在少数几个变量上具有较大载荷（系数比较大），其余变量载荷很小或不太大。

（2）每个变量仅在一个公共因子上有较大载荷，而在其余公共因子上的载荷较小或不太大。

可见，旋转的目的是使每一个变量在新的坐标轴上的射影尽可能向1和0两极分化。

因子载荷阵旋转的方法有多种，如正交旋转、斜交旋转等。正交旋转法主要有：方差最大法、四次方最大法和等量最大法。

方差最大法从简化因子载荷矩阵的每一列出发，使和每个因子有关的载荷的平方的方差最大。当只有少数几个变量在某个因子上有较高的载荷时，对因子的解释最简单。方差最大的直观意义是希望通过因子旋转后，使每个因子上的载荷尽量拉开距离，一部分的载荷趋于±1，另一部分趋于0；四次方最大旋转是从简化载荷矩阵的行出发，通过旋转初始因子，使每个变量只在一个因子上有较高的载荷，而在其他的因子上有尽可能低的载荷。如果每个变量只在一个因子上有非零的载荷，这时的因子解释是最简单的。四次方最大法通过使因子载荷矩阵中每一行的因子载荷平方的方差达到最大；等量最大法把四次方最大法和方差最大法结合起来，求它们的加权平均最大。