数理方程典型应用案例及理论分析-定解问题的适定性

偏微分方程和对应的定解条件构成定解问题。比如一维热传导方程（1.8）与初始条件（1.12）、第一类边界条件（1.13）、第三类边界条件（1.19）构成定解问题：

研究数学物理方程的中心内容是求各类定解问题的解并研究解的性质，对其所描述的自然现象或过程有更深入的认识。从数学上看，一个定解问题提得是否合理，是否能够完全描述一个给定的物理状态，一般有三个标准：

（1）解的存在性。即定解问题的解是否一定存在？

（2）解的唯一性。即定解问题的解是否只有一个？

（3）解的稳定性。当定解条件及方程中的系数有很小的变化时，相应的解是否也做很小的变化？(www.xing528.com)

定解问题的存在性、唯一性和稳定性三者统称定解问题的适定性。如果一个定解问题的解是存在的、唯一的，而且是稳定的，则称这个问题是适定的，即认为这样的定解问题的提法是合适的。

一般来讲，对于决定性的现象来说，一个基本上正确地（但总是近似地）描述所考察物理模型的偏微分方程定解问题，其解通常应该是存在、唯一并稳定的。这是因为，所考察的物理模型在一定的条件下总具有唯一确定的状态，因此，相应的偏微分方程的定解问题通常也应该具有唯一的解，即解应是存在的、唯一的。同时，因为测量中总有误差，如果定解条件的微小误差会引起解的重大变化，所考察的定解问题实际上就不可能给出相应于所考察物理模型的近似解，从而实际上不可能正确地描述所考察的物理模型，而失去任何实际的作用。因此，在求解偏微分方程定解问题的过程中，对定解问题的适定性进行一定的分析，可以帮助我们初步判定所归结的定解问题是否合理、所附加的定解条件是否适当以及对偏微分方程通常应该指定怎样的定解条件等，并对求解起一定的指导作用。

虽然定解问题的适定性对于确定物理过程是重要的，但是随着科学技术的发展，不适定的问题也有用武之地，比如利用静电场作物理探矿中就会遇到不适定的场位方程的初值问题。因此有时一个定解问题尽管不满足适定性的要求，在实际上仍需加以研究。