数理方程应用案例：弦振动初边值问题

在弦振动问题中，设弦的长度为l，弦振动方程的初始条件是弦在初始时刻t＝0时的位置和速度，通常表示为

边界条件是指弦的两个端点的状态，通常有三种情况，对应于三类不同的边界条件。

（1）第一类边界条件。又称狄利克雷边界条件，是已知两个端点的位置和速度，若弦的两端固定，则边界条件为

若弦的两端不固定，而是按照某一规律运动，则边界条件为

（2）第二类边界条件。又称诺伊曼边界条件，假定弦的一端（例如x＝0）处于自由状态，即可以在垂直于x轴的直线上自由滑动，且不受垂直方向的外力，像这样的端点称为自由端。由于边界右端张力的垂直方向分量是，因此自由端的边界条件为

如果自由端在t时刻受到垂直于弦线的外力为μ（t），则自由端的边界条件为

式中，μ（t）是t的已知函数。(www.xing528.com)

（3）第三类边界条件。又称罗宾边界条件，假定弦的一端（例如x＝l）固定在弹性支承上，根据胡克定律，弦对支承的拉力为ku，其中k为弹性系数，同时，弦在端点受张力垂直方向分量为，这两个力相互平衡，绝对值相等，符号相反，故有

整理可得，第三类边界条件为

式中，是已知正数。

如果端点在t时刻同时受到垂直于弦线的外力为υ（t），则边界条件为

式中，υ（t）是t的已知函数。

边界条件与初始条件总称为定解条件。把方程和定解条件结合起来，就得到描述弦振动规律的定解问题。