扩散问题及其数理方程典型应用

扩散是物质分子从高浓度区域向低浓度区域转移，直到均匀分布的现象，同时扩散的速率与物质的浓度梯度成正比。一般从浓度较高的区域向浓度较低的区域进行扩散，直到同一物态内各部分各种物质的浓度达到均匀或两种物态间各种物质的浓度达到平衡为止。显然，由于分子的热运动，这种“均匀”“平衡”都属于“动态平衡”，即在同一时间内，界面两侧交换的粒子数相等。

在化工生产中，部分物料具有易燃易爆、有毒有害的危险特性，一旦由于某种原因发生泄漏，则泄漏的物料会在浓度梯度和风力的作用下在大气中扩散，危害现场的工作人员，在较大的范围内导致人员伤亡及环境污染，因此分析泄漏气体在大气中的扩散有重大意义。

化工泄漏引起的烟雾传播可以看作在一定空间由瞬时点源导致的扩散过程，能够由二阶抛物型偏微分方程描述烟雾浓度的变化规律。针对空间中的气体扩散，考虑高斯模型，将此复杂问题简化为烟团模型，即瞬间泄漏的扩散，假设某气体于一密闭空间中的点（x，y，z）处在t时刻的浓度用函数u（x，y，z，t）表示，将此过程简化，取一曲面，假设已知该气体溶质在单位时间流入曲面S上单位曲面元的质量q服从能斯特（Nernst）定律，即

图1.3　扩散模型坐标示意图

式中，k为扩散系数。

建立直角坐标系Oxyz，如图1.3所示。假设在dt时间内通过ABCD面流入的质量为

在dt时间内通过FGHE面流入的质量为

因此，在dt时间内通过x方向流入的质量为

同理，在dt时间内，沿y，z方向流入的质量为

与此同时，在这个小立方体内，气体溶质的质量变化为dm·du，可以得到溶质的扩散方程(www.xing528.com)

令，由位置以及时刻的任意性，就可以得到三维扩散方程

1）假设空间有限

将密闭空间简化为三维长方体区域，0＜x＜L，0＜y＜H，0＜z＜W，假设初始时刻密闭空间内各点的浓度服从f（x，y，z）函数，即初始条件为

u（x，y，z，0）＝f（x，y，z）；

假设单位时间内，通过密闭空间边界上的物料为0，即边界条件为

2）假设空间无穷大

设初始条件为

且方程没有边界条件，则问题转化为柯西问题：

由于求解过程涉及多个变量分离，在此不详细给出。