扩散方程模型建模方法及应用

1．问题分析

建立数学模型，表示气体的扩散、液体的渗透、半导体材料中杂质的扩散等过程的规律．

2．模型假设

（1）扩散过程是稳定的；扩散过程满足扩散定律和质量守恒定律；扩散对象中每个微小部分之间的关系是一致的；有关扩散系数强度等都是已知的．

（2）N表示扩散物质的浓度．

（3）dm表示在微小的时间段dt内，沿法线方向n经过一个微小曲面dS扩散的物质的质量．

（4）D（x，y，z）表示扩散系数．

3．模型建立与计算

（1）模型建立：类似于热传导过程中的傅里叶基本定律和热量守恒定律，即

和(www.xing528.com)

在扩散问题中，我们有扩散定律和质量守恒定律：

和

类似于热传导中的系数Q，u，k，在扩散过程中有系数m，N，D，在扩散中，对应于热传导中的cρ=1，可得到扩散区域中内部任何位置的扩散一般方程：

如果D是常数，则记D=a2，则方程可以化为

这与热传导方程形式上是一样的．也就是说，一般物质的扩散过程与热量的传导过程相近或者相同．这里的N是物质的浓度，而热传导方程中相应的函数是温度．

（2）模型计算：可以利用数学计算软件中现成模块进行计算，也可以利用差分格式建立每个点位置和相应时刻相应的差分方程进行计算，可以获得离散近似解的形式．此处具体的差分格式形式省略．

4．建模方法点评

本案例利用微元素分析方法建立数学模型，同时借助了表达相关现象发生机理的物理定律，再进一步根据不同的边界条件建立了不同形式的数学模型．