D.Dubois-H.Prade条件解析

为了寻求蕴涵算子的共同本质，法国学者D.Dubois和H.Pradez在文献[24]中对蕴涵算子提出了10个条件，我们简称其为D-P条件.这10个条件是：

① 如果a≤b，则R （a， c）≥R （b， c）；

② 如果b≤c，则R （a， b）≤R （a ，c）；

③ R （0,b）=1；

④ R （1,b）=b；

⑤ R （a, b）≥b；

⑥ R （a,a）=1；

⑦ R （a,R （b, c））=R （b, R （a,c ））；

⑧ R （a，b）=1当且仅当a≤b；

⑨ R （a, b ）=R （b′,a′）；

⑩ R （x， y）关于x和y连续.

这些性质要求都有其逻辑背景，反映了不同领域对蕴涵算子的具体要求.如①—⑤是经典二值逻辑中蕴涵算子的推广，反映了模糊蕴涵算子应该是经典蕴涵算子的扩张之要求；⑥表示自己可以推出自己，这是逻辑推理的基本要求；⑧表明a能够推出b当且仅当a的真度不会比b的真度大的要求；⑨体现了双重否定应该等于肯定的要求.然而条件⑩的要求显然过于强了一些，很多重要的蕴涵算子往往不能满足这样的要求.鉴于此，吴望名教授又在文献[23]中提出了如下几个性质要求：(www.xing528.com)

⑪ 对任意的a∈［0，1］，fa ：［0，1］2→［0，1］，f a（x）=R （x， a）是左连续的；

从定义2.1.3可知，理想蕴涵算子几乎满足上述所有条件，这使它具有许多良好性质[25].但是由于大多数蕴涵算子并不能满足这些条件，因此有必要从中筛选出一些共有的条件构成一定的代数结构，对其代数性质进行更深入的发掘，力求揭示蕴涵算子的共同本质特征.这正是我们接下来要为读者们介绍的Fuzzy蕴涵代数概念的引入初衷.在结束本节讨论，开始具体介绍Fuzzy蕴涵代数之前，我们指出如下事实.

注2.1.1 D-P条件中的10个条件不是相互独立的.

（1）当⑨成立时，①和②相互等价.事实上，设①成立且b≤c，由“a′=1-a”为逆序对合对应知c′≤b′，所以由①和⑨得

因此②成立.反之，设②成立也可推出①成立.

（2）当①和④成立，可以推出⑤成立.事实上，因为a≤1，所以

（3）当⑨和⑤成立，可以推出③成立.事实上，

（4）条件⑧的一半，即a ≤b ⇒R （a，b）=1可由①和⑥推出.事实上，设a≤b，则

综上所述可知，D-P条件中的10个条件之②、③、⑤和⑧的一半均可删掉.当然，把这些

可由其他条件推得的条件一并列出也有其好处，使人们可以清楚地看到其全部性质.

注2.1.2 以下如无特殊说明，我们总是用a→b表示R （a，b）.