模糊蕴涵代数的特征刻画

为了进一步深刻揭示Fuzzy蕴涵代数的结构特征，本节在深入分析定义2.2.1的基础上，给出这一代数结构的几个等价刻画定理.

定理2.2.5 设（X，→， 0）是一个（2， 0）型代数，→：X ×X→X是X上的二元运算，则（X，→， 0）构成FI代数当且仅当对任意的x，y，z∈X，下列各条件成立：

（1）x→（y →z ）=y→（x →z），即（FI1）成立；

（2）（x →y）→（（y →z）→（x →z ））=1，即（FI2）成立；

（3）存在X上二元关系≤使（X，≤）构成分别以0和1为最小元和最大元的有界偏序集；

（4）二元运算→与偏序关系满足：

其中，1=0→0.

证明 设（X，→， 0）构成一个FI代数，则由定义2.2.1、定义2.2.2和注2.2.1可知条件（1）—（4）成立.反之，设（1）—（4）成立，往证（FI1）—（FI5）成立.事实上，对任意的x，y∈X有

（i）由（1）和（2）知（FI1）和（FI2）成立.

（ii）因为由条件（3）知x≤x，所以由条件（4）得x→x=1，故（FI3）成立.

（iii）如果x →y =y →x=1，则由条件（4）得x≤y且y≤x，从而由偏序≤的反对称性得x=y，故（FI4）成立.

（iv）因为由0是偏序集（X，≤）中的最小元得0≤x，所以由条件（4）得0→x=1，故（FI5）成立.定理得证.

定理2.2.6 设（X，→， 0）是一个（2， 0）型代数，→：X ×X→X 是X上的二元运算，则（X，→， 0）构成FI代数当且仅当存在X上二元关系≤使（X，≤）构成分别以0和1为最小元和最大元的有界偏序集，且对任意的x，y，z∈X，下列各条件成立：

（1）x→（y →z ）=y→（x →z），即（FI1）成立；

（2）y →z ≤（x →y）→（x →z），即（FI10）成立；

（3）x→y=1当且仅当x≤y.

其中，1=0→0.

证明 因为（X，≤）是偏序集，所以由条件（2）和（3）得

故再由条件（1）得

即（FI2）成立.因此由定理2.2.5知定理得证.

定理2.2.7 设（X，→， 0）是一个（2， 0）型代数，→：X ×X→X 是X上的二元运算，则（X，→， 0）构成FI代数当且仅当对任意的x，y，z∈X，下列各条件成立：

（1）x→（y →z ）=y→（x →z），即（FI1）成立；

（2）（x →y）→（（y →z）→（x →z ））=1，即（FI2）成立；

（3）1→x=x，即（FI7）成立；

（4）如果x →y =y →x=1，则x=y，即（FI4）成立；

（5）0→x=1，即（FI5）成立.

其中，1=0→0.(https://www.xing528.com)

证明 设（X，→， 0）构成FI代数，则由定义2.2.1和定理2.2.1知条件（1）—（5）成立.反之，设条件（1）—（5）成立，往证（FI1）—（FI5）成立，这只需证（FI3）成立.事实上，在条件（3）中取x=1得1→1=1.则对任意的x∈X，由条件（3）和（2）得

即（FI3）成立.定理得证.

定理2.2.8 设（X，→， 0）是一个（2， 0）型代数，→：X ×X→X 是X上的二元运算，则（X，→， 0）构成FI代数当且仅当对任意的x，y，z∈X，下列各条件成立：

（1）x→（（x →y）→y）=1；

（2）（x →y）→（（y →z）→（x →z））=1，即（FI2）成立；

（3）x→x=1，即（FI3）成立；

（4）如果x →y =y →x=1，则x=y，即（FI4）成立；

（5）0→x=1，即（FI5）成立；

（6）1→x=x，即（FI7）成立.

其中，1=0→0.

证明 设（X，→， 0）构成FI代数，则由定义2.2.1和定理2.2.1知条件（2）—（6）成立.下证条件（1）成立即可.事实上，因为由（FI11）可得x ≤（x →y）→y，所以由定义2.2.2便得x→（（x →y）→y）=1，即条件（1）成立.反之，设条件（1）—（6）成立，往证（FI1）—（FI5）成立，这只需证（FI1）成立即可.为此，断言：对任意的u，v， w∈X，当u→v=1且v→w=1时，有u→w=1.事实上，由条件（6）和（2）得

于是，对任意的x，y，z∈X，一方面，利用条件（2）可得

下证（（（y →z）→z）→（x →z））→（y→（x →z））=1.事实上，因为由条件（1）得y→（（y →z）→z）=1，所以再由条件（6）和条件（2）得

故由断言得

同理可证

因此由条件（4）便得x→（y →z ）=y→（x →z），即（FI1）成立.定理得证.

定理2.2.9 设（X，→， 0）是一个（2， 0）型代数，→：X ×X→X是X上的二元运算，则（X，→， 0）构成FI代数当且仅当对任意的x，y，z∈X，下列各条件成立：

（1）（x →y）→（（y →z）→（x →z ））=1，即（FI2）成立；

（2）x→x=1，即（FI3）成立；

（3）如果x →y =y →x=1，则x=y，即（FI4）成立；

（4）0→x=1，即（FI5）成立；

（5）x→（（x →y）→y）=1；

（6）x→1=1，即（FI6）成立.

其中，1=0→0.

证明 设（X，→， 0）构成FI代数，则由定义2.2.1、定理2.2.1和定理2.2.8知条件（1）—（6）成立.反之，假设条件（1）—（6）成立，为证（X，→， 0）构成FI代数，由定理2.2.8知只需证（FI7），即证1→x=x.事实上，对任意x∈X，一方面，由条件（5）和（6）得1→（（1→x）→x）=1且（（1→x）→x）→1 =1，故由（3）得（1→x）→x =1.另一方面，由条件（2）和条件（5）得故由条件（3）得1→x=x，即（FI7）成立.定理得证.