年太阳黑子功率谱图及计算原理

混沌普遍存在于非线性系统里。为了识别混沌，许多学者在实验室和自然状态下对混沌识别进行了各种尝试。然而在实际情况中混沌的识别并非易事。在实验室系统里，噪声会与确定性的内在动力学特性发生相互作用，给理论解释带来困难。许多先前认为是噪声的过程现在又有可能认为是确定性的混沌过程；而所研究的系统中确实存在的噪声却混淆了这种可能性。噪声与混沌的区别并不是非常明显，有时甚至无法把两者区分开。

对于已知某个动力学过程，无论它是确定性的混沌还是随机过程，往往可以计算其对应的概率密度。但是，由给定的概率密度来确定动力学过程的逆运算却没有唯一答案。因此，如果没有细致估计动态的其他统计特性，就不能用事件的概率密度来确证其内在的动力学过程。为人们熟知且应用最多的一种表达复杂时间序列的统计量是功率谱。

所谓功率谱[25]，即是对大量轨道点采样后作快速傅立叶变换所得到的谱线，它把复杂的时间序列分解成不同频率的正弦振荡的叠加。任何运动都包含一定的频率结构，一个复杂的信号应该是不同频率的混合体。图2.4给出了年太阳黑子时间序列的功率谱图。功率谱的尖峰表示明确限定的分谱率，比附近的频率要强。给定的频率处的功率值与该频率的正弦波系数的平方成正比。周期信号或准周期信号的功率谱多由尖峰组成。

图2.4　年太阳黑子功率谱

1.计算原理

在实际测量或者计算机实验中得到的，常常是按一定时间间隔的时间序列x（1），x（2），…，x（n），…。对这个数列加上边界条件Nn+j=Nj（j为任意正整数），然后计算自相关函数：

再对cj做傅里叶变换，而计算傅里叶级数：

式中：pk为第k个频率分量对xj的作用，其意义代表单位频率上的能量。

应用快速傅里叶变换算法可以不计算自相关函数，而直接求x（i）的傅里叶系数：

设：

由多组﹛x（i）﹜得到一组，求平均后即趋近于前面定义的功率谱Pk。

2.功率谱分析的优点(www.xing528.com)

采用功率谱分析相对于其他的分析方法有其内在的优点，可以分析出混沌这样的复杂运动的频谱特性，并据以区分混沌与噪声。该方法可以分辨高达27次谐波，这样要比直接观测相空间的轨迹要好，观测相空间轨迹最多可分辨25次谐波。并且功率谱在很多领域是一个可以直接实验测定的量。目前已有专门的仪器可以测量各种信号的功率谱，然后再分析信号的特征。

3.功率谱估计分析方法

功率谱估计是用有限长的数据来估计信号的功率谱，对于认识一个信号或其他应用都是非常重要的，是数字信号处理的重要研究内容之一。功率谱估计可以分为经典谱估计（非参数估计）和现代谱估计（参数估计）。前者的主要方法有周期图法；后者的主要方法有最大熵谱分析法（AR模型法）、Pisarenko谐波分解法、提取极点法、Prony谱线分解法以及Capon最大似然法。其中周期图法是用得较多且最具代表性的方法，其原理如下：

已知随机信号的功率谱和自相关函数是一对傅里叶变换对：

式中：Pxx（ω）为信号的功率谱；m为一任意正整数，代表两个序列的时间间隔。

自相关函数的定义为

对于平稳随机过程，由功率谱的偶函数特性得

由于实际得到的随机信号只能是它的一个样本的片断，因此只能用有限长的样本序列来估计功率谱，这相当于用一个有限宽度（N）的窗函数ω（n）去乘样本序列，于是有（用离散频率k代替ω）

式（2.46）即为用样本序列片段的离散傅里叶变换来估计功率谱的公式。由于加了矩形窗，使得这种直接的周期图估计的平滑性、一致性和分辨率不能满足实际要求，因此有必要对上式做一些修改。这些修改主要有两种方法：

（1）分段平均，即将长度为N 的数据分成L 段（允许有重叠），分别求出每一段的功率谱，然后加以平均。这样L个平均的方差比每个随机变量的单独方差小L倍。

（2）采用合适的窗函数（海明窗、汉宁窗等）来消除由矩形窗瓣带来的谱失真。

从时间序列上分析了非线性动力系统的波动状态后，可以很容易从功率谱上区分出周期函数、拟周期函数和非周期函数。周期函数的功率谱是分立的、离散的（对应尖峰）。拟周期吸引子包含了各种各样的周期（或频率），且各频率之间的比例为无理数（而周期函数功率谱中，同一类周期为有理数）。非周期函数其功率谱与上述的周期、拟周期的离散谱线不同，是连续的谱。问题的关键在于要区分随机白噪声和混沌，由于白噪声是由大量独立的因素产生的，因此其功率谱的振幅与频率无关，其功率谱仍是连续的。而对混沌而言，由于它是非周期的，所以它的功率谱仍是连续的，但由于混沌运动极其复杂，例如在倍周期分岔的过程中，每分岔一次，功率谱中都会出现一批对应新分频及倍频的峰，所以混沌的功率谱不是平谱，即功率谱中出现了噪声背景和宽峰。总之，用功率谱对时间序列进行分析，极大地方便了人们对于混沌的研究。