2016考研数学（一）典型题660-二重积分大小的比较与估计

【主要内容】

1.二重积分的比较

（1）相同积分区域情形

设f（x，y），g（x，y）都是连续函数.如果f（x，y）≤g（x，y）（（x，y）∈D），则，

如果f（x，y）≤g（x，y）（（x，y）∈D），但至少存在一点（x₀，y₀）∈D，使得f（x₀，y₀）<g（x₀，y₀），则

（2）不同积分区域情形

设f（x，y），g（x，y）都是连续函数，如果存在常数k，使得

则

设f（x，y），g（x，y）都是连续函数，如果存在常数k，使得

，，

则

2.二重积分值的估计

当二重积分（其中f（x，y）是连续函数）不易计算时，往往需对它的值进行估计，其方法有以下两种：

（1）如果f（x，y）在D上的最小值为m，最大值为M，则

当f（x，y）在D上的最值不易计算时，可对f（x，y）作适当缩小或放大，得到

g（x，y）≤f（x，y）≤h（x，y）（（x，y）∈D），

并且，比较容易计算，记它们的值分别为A，B，则

（2）将转化成定积分，然后估计这个定积分，得到二重积分的估计值.

【典型例题】

例3.12.1 （单项选择题）如图3.12.1所示，正方形{（x，y）|x|≤1，|y|≤1}被其对角线划分为四个区域D_k（k=1，2，3，4），，则

A.I₁ B.I₂ C.I₃ D.I₄

精解 利用积分区域的对称性，确定I₁，I₂，I₃，I₄与数零之间的关系，从而得到正确选项.

由于在D₁上ycosx≥0（且仅在点（0，0）处取等号），所以

D₂，D4都关于x轴对称，且在对称点处ycosx的值互为相反数，所以

I₂=I₄=0.

由于在D₃上ycosx≤0（且仅在点（0，0）处取等号），所以

因此本题选A.

图 3.12.1

例3.12.2 （单项选择题）设平面区域D由直线x=0，y=0，，x+y=1围成，

则I₁，I₂，I₃的大小顺序是（ ）.

A.I₁<I₂<I₃ B.I₁<I₃<I₂ C.I₃<I₁<I₂ D.I₃<I₂<I₁

精解 由于I₁，I₂，I₃的积分区域同为D，所以只要比较被积函数的大小即可.(https://www.xing528.com)

在D上，，所以有

ln（x+y）≤0≤（x+y）³≤（x+y）²， （1）

并且ln（x+y），（x+y）²，（x+y）³都是D上的连续函数，且在D上至少存在一点使式（1）中的等号都不成立.所以有

因此本题选B.

例3.12.3 估计二重积分

精解 由于既关于x轴对称，又关于y轴对称，被积函数在对称点处的值彼此相等，所以

其中是D在第一象限的部分.

下面计算f（x，y）在D₁上的最小值m与最大值M.

由知f（x，y）在D₁的内部无极值点.

D₁有边界，，

在；

在的最小值为，最大值为；

同理，在的最小值为，最大值为

因此，，于是由D₁的面积为得

将它代入式（1）得

即

例3.12.4 估计二重积分的取值范围，其中D={（x，y）|x² +y²≤1}.

精解 被积函数在D上的最值不易计算，因此考虑对它作适当缩小或放大，显然

，并且仅在点（0，0）处取等号），于是有

其中

将式（2）和式（3）代入式（1）得

例3.12.5 估计二重积分，其中D={（x，y）|x²+y²≤1}.

精解 用极坐标容易将题中所给的二重积分转化成定积分，然后通过估计定积分得到二重积分的估计值.

由于当u≥0时，（等号仅在u=0处成立），所以有

（等号仅在r=0处成立）.

因此有

即

将式（2）代入式（1）得