数学2016考研典型题660-坐标曲线积分计算

【主要内容】

1.关于坐标曲线积分的概念

（1）平面情形

设P（x，y），Q（x，y）都是有界函数，是从点A到点B的光滑或分段光滑有向曲线.在上任意插入n-1个不同的点M₁（x₁，y₁），M₂（x₂，y₂），…，M_n-1（x_n-1，y_n-1），把划分成n个小弧段.

记Δx_i=x_i-x_i-1，Δy_i=y_i-y_i-1，并在上任取点M（_i，η_i）（i=1，2，…，n）.如果不管如何划分，也不管如何在每个小弧段上取点（_i，η_i），极限

（λ是各个小弧段长度最大者）总是存在并且相等，则分别称它们的极限值为P（x，y）在A上关于坐标x的曲线积分和Q（x，y）在上关于坐标y的曲线积分，记为

即

一般地，P（x，y），Q（x，y）在有向曲线上关于坐标的曲线积分为

它定义为

当P（x，y），Q（x，y）都是连续函数时，上述几个关于坐标的曲线积分

都存在.

（2）空间情形

设P（x，y，z），Q（x，y，z），R（x，y，z）是有界函数，是从点A到点B的光滑或分段光滑的有向空间曲线，则关于坐标的曲线积分

的定义与平面情形相似，并且当P（x，y，z），Q（x，y，z），R（x，y，z）都是连续函数时，上述几个关于坐标的曲线积分都存在.

2.关于坐标曲线积分的计算方法

下面以平面曲线情形为例，给出连续函数的关于坐标曲线积分的计算步骤：

（1）按关于坐标曲线积分的性质化简所给的曲线积分，使它化为易于转化成定积分的形式.

关于坐标曲线积分主要有以下性质：

设 P（x，y），P₁（x，y），Q（x，y），Q₁（x，y）都是连续函数，是光滑或分段光滑的有向曲线，则

（2）将化简后的关于坐标的曲线积分（记为化为定积分，然后计算这个定积分，即可得到所求的关于坐标曲线积分的值.

设P₀（x，y），Q₀（x，y）都是连续函数，L是光滑或分段光滑的有向平面曲线，它的参数方程为起点、终点参数分别为t₀，t₁，则

3.两类曲线积分之间的关系

（1）平面曲线情形(https://www.xing528.com)

设（cosα，sinα）是光滑或分段光滑的有向平面曲线弧上任一点的单位切向量，其方向与方向一致，则dx=cosαds，dy=sinαdy，所以

（2）空间曲线情形

设（cosα，cosβ，cosγ）是光滑或分段光滑的有向空间曲线弧上任一点的单位切向量，其方向与方向一致，则dx=cosαds，dy=cosβds，dz=cosγds，所以

【典型例题】

例3.15.1 计算下列关于坐标曲线积分：

（1），其中L是抛物线y=x²上从点（0，0）到点（2，4）的有向弧段；

（2），其中是由原点O沿圆周（x-a）2+y²=a²（y≥0，常数a>0）到点A（2a，0）的有向弧段.

精解 （1）L的参数方程为，起点与终点参数分别为t=0和t=2，所以

（2）的参数方程为，点O与A的参数分别为t=π，t=0，所以

例3.15.2 设C是两球面x²+y²+z²=1与x²+y²+z²=2z的交线，方向与z轴正向符合右手法则，求关于坐标的曲线积分

精解 先将C用参数方程表示.

由方程组即为所以C的参数方程为

由C的方向知，C的起点和终点参数可分别取为t=0与t=2π.于是

其中

将式（2）、式（3）代入式（1）得

注 计算曲线积分（不论是关于弧长的还是关于坐标的）时，应把积分曲线用参数方程表示.在平面情形，这一点是容易做到的.在空间情形，通常采用本题和例3.14.5的方法.它们是，将积分曲线投影到某个坐标平面，则由这条投影曲线的参数方程得到积分曲线的参数方程.

例3.15.3 设P（x，y），Q（x，y）都是连续函数，试将关于坐标的曲线积分

转化为关于弧长的曲线积分，其中C是沿上半圆周x²+y²=2x（y≥0）从点（0，0）到点（1，1）的有向弧段.

精解 C的参数方程为起点参数为t=π，终点参数为，由于在有向曲线C上任一点的切线方向的余弦cosα，sinα中的cosα≥0，所以由

x′（t）=-sint， y′（t）=cost

知， ，

从而