2016考研数学典型题660：二阶欧拉方程解析

【主要内容】

形如x²y″+p₁xy′+p₂y=f（x）（其中p₁，p₂是常数，f（x）是已知函数）的微分方程称为二阶欧拉方程.

令x=e^t，上述的欧拉方程转化为二阶常系数（齐次或非齐次）线性微分方程

然后在式（1）的通解中用t=lnx代入即得二阶欧拉方程的通解.

【典型例题】

例4.7.1 求微分方程x²y″-xy′+2y=xlnx+x²的通解.

精解 所给微分方程是欧拉方程.令x=e^t，则得

（二阶常系数非齐次线性微分方程）. （1）

式（1）对应的齐次线性微分方程为

其特征方程r²-2r+2=0的根为1+i，1-i，所以式（2）的通解为

Y=e^t（C₁cost+C₂sint）.

此外式（1）有特解

y∗=（a₀+a₁t）e^t+be^2t， （3）

将它代入式（1）得

[（a₀+a₁t）e^t+be^2t]″-2[（a₀+a₁t）e^t+be^2t]′+2[（a₀+a₁t）e^t+be^2t]=te^t+e^2t，即[（a₀+2a₁+a₁t）e^t+4be^2t]-2[（a₀+a₁+a₁t）e^t+2be^2t]+2[（a₀+a₁t）e^t+be^2t]=te^t+e^2t，

化简后成为

（a₀+a₁t）e^t+2be^2t=te^t+e^2t.

由此得到将它们代入式（3）得

从而式（1）的通解为

将t=lnx代入上式得所给的欧拉方程的通解为

例4.7.2 求微分方程（x+1）y″+y′=ln（x+1）的通解.(www.xing528.com)

精解 所给微分方程可以改写成

（x+1）²y″+（x+1）y′=（x+1）ln（x+1）. （1）

显然，式（1）是二阶欧拉方程，令x+1=e^t可将式（1）化为

， 即

解式（2）得

将t=ln（x+1）代入式（3）得所给微分方程的通解

y=[ln（x+1）-2]（x+1）+C₁ln（x+1）+C₂.

例4.7.3 求微分方程的通解.

精解 所给微分方程是二阶欧拉方程，故令x=e^t，则得

即 （二阶常系数非齐次线性微分方程）. （1）

式（1）对应的齐次线性微分方程为

它的特征方程r²-1=0有根r=-1，1，从而式（2）的通解为

Y=C₁e^-t+C₂e^t.

此外，式（1）有特解 y∗=Ate^-t. （3）

将它代入式（1）得

（Ate^-t）″-Ate^-t=e^-t，

即 -2Ae^-t=e^-t.

所以将它代入式（3）得因此式（1）的通解为

从而所给的欧拉方程的通解为