函数展开为傅里叶级数-2016考研数学（一）660

【主要内容】

1.傅里叶级数

设f（x）是以2l（l>0）为周期的周期函数，且在[-l，l]上可积，则称三角级数

为f（x）的以2l为周期的傅里叶级数，其中称为f（x）的傅里叶系数.

2.狄利克雷收敛定理

设f（x）是以2l为周期的周期函数，在[-l，l]上只有有限个第一类间断点和有限个极值点，则f（x）的傅里叶级数（∗）的收敛域为（-∞，+∞），和函数s（x）是以2l为周期的周期函数，其中在一个周期[-l，l]上有

以上称为狄利克雷收敛定理.

由狄利克雷收敛定理可以确定f（x）的傅里叶展开式

的成立范围.

注 （ⅰ）当f（x）是以2l为周期的偶函数时，f（x）以2l为周期的傅里叶级数为

当f（x）是以2l为周期的奇函数时，f（x）以2l为周期的傅里叶级数为

其中

（ⅱ）当f（x）是以2π为周期的周期函数时，f（x）以2π为周期的傅里叶级数为

其中，

（ⅲ）仅在[-l，l]上定义的函数f（x），要展开成傅里叶级数，需将f（x）作以2l为周期的周期延拓，此时傅里叶展开式仍为式（∗∗），其成立范围是由狄利克雷收敛定理确定的范围与[-l，l]的交集.

仅在[0，l]上定义的函数f（x），要展开成傅里叶级数，需将f（x）作以l为周期的周期延拓，此时傅里叶展开式为

（其中，，n=1，2，…），其成立范围是由狄利克雷收敛定理确定的范围与[0，l]的交集.

仅在[0，l]上定义的函数f（x），要展开成余弦级数，需将f（x）作以2l为周期的偶延拓，此时余弦级数展开式为

，其成立范围是由狄利克雷收敛定理确定的范围与[0，l]的交集.

仅在[0，l]上定义的函数f（x），要展开成正弦级数，需将它作以2l为周期的奇延拓，此时正弦级数展开式为

，其成立的范围是由狄利克雷收敛定理确定的范围与[0，l]的交集.

【典型例题】(www.xing528.com)

例4.16.1 （单项选择题）设函数则分别为（ ）.

精解 s₁（x），s₂（x）分别是以2为周期的周期函数F₁（x），F₂（x）的傅里叶级数的和函数，其中

于是，

是以2为周期的周期函数）

因此本题选B.

例4.16.2 设函数f（x）是以4为周期的周期函数，其中在[-2，2]上

求f（x）的以4为周期的傅里叶级数、和函数s（x）及傅里叶展开式.

精解 由于，

n=1，2，…，所以f（x）的傅里叶级数为

由于f（x）在[-2，2]上满足狄利克雷收敛定理，所以式（1）的和函数s（x）是以4为周期的周期函数，其中在一个周期[-2，2]上的表达式为

由此可知，f（x）与s（x）仅在x=±2（2m+1）（m=0，1，2，…）处不等，因此有

例4.16.3 将函数展开成余弦级数和正弦级数.

精解 由于，

n=1，2，…，所以

f（x）的余弦级数为

由于它是（即f（x）的偶延拓）的周期为π的傅里叶级数，所以由狄利克雷收敛定理知，式（1）的和函数，即

从而有

f（x）的正弦级数为

由于它是（即f（x）的奇延拓）的周期为π的傅里叶级数，所以由狄利克雷收敛定理知，式（2）的和函数，即

从而有