计算转动惯量和质心的方法

【主要内容】

1.转动惯量

面密度为ρ（x，y）的薄片D关于x轴，y轴及原点的转动惯量分别为

体密度为ρ（x，y，z）的立体Ω关于x轴，y轴，z轴及原点的转动惯量分别为

关于曲线、曲面的转动惯量也有类似的计算公式.

2.质心

面密度为ρ（x，y）的薄片D的质心的坐标为

其中，为D的质量.

体密度为ρ（x，y，z）的立体Ω的质心（）的坐标为

其中，的质量.

关于曲线、曲面的质心也有类似的计算公式.

【典型例题】

例附2.1 设薄片板D的边界曲线方程为（x²+y²）3=a²（x⁴+y⁴）（a>0），面密度为ρ₀（常数），求D关于x轴的转动惯量I.

精解 ，其中，D关于x轴和y轴都对称，并且D在第一象限的部分D₁的极坐标表达式为

此外，D关于直线y=x对称，在对称点处（y²-x²）ρ₀的值互为相反数，所以，即，所以，

例附2.2 设由yOz平面上的曲线y²=e^z绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z=0，z=1所围成的立体Ω的体密度ρ（x，y，z）=z（x²+y²）.求Ω关于z轴的转动惯量I.

精解 先写出Ω的表达式，然后由计算Ω关于z轴的转动惯量I.

由题设知

Ω={（x，y，z）|x²+y²≤e^z，0≤z≤1}，

所以，

（其中D_z={（x，y）|x²+y²≤e^z}（0≤z≤1）是Ω在竖坐标为z的平面上的截面）

例附2.3 设由曲线y=lnx，直线x=e及x轴围成的薄板D（面密度为1），求D关于直线x=t的转动惯量I（t），并问t为何值时，I（t）取最小值.

精解 先画出D的图形，写出D关于直线x=t的转动惯量I（t）的表达式，然后用微分学方法计算I（t）的最小值点.(https://www.xing528.com)

D的图形如图附2.3所示.

图附2.3

由于

所以，时，I（t）取最小值.

注 顺便计算D的质心的横坐标：

由于 ，

由此可知.这一计算表明，要使I（t）最小，其旋转轴应通过质心.

例附2.4 设曲面Σ：x²+y²+z²=2x的面密度为ρ（x，y，z）=x²+y²+z²，求Σ的质量m.

精解 Σ的质量

由于Σ关于平面z=0与平面y=0都对称，从而

（其中Σ₁是Σ在第一卦限内的部分）. （1）

由于 ，所以，

因此 （D_xy={（x，y）|（x-1）²+y²≤1，y≥0}是Σ₁在xOy平面上的投影）

将式（2）代入式（1）得m=8π.

例附2.5 设有一半径为R的球体Ω，P₀是此球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到P₀的距离的平方成正比（比例常数k>0），求球体质心.

精解 取球心为原点，从球心出发经过点P₀的射线为z轴的正半轴，建立坐标系，则P₀=（0，0，R），此外由题设知，球体上任一点（x，y，z）的体密度为

ρ（x，y，z）=k[x²+y²+（z-R）²].

据此可以由质心计算公式得到要求的球体质心（)

在上述坐标系下，球体关于平面x=0对称，且在对称点处函数xρ（x，y，z）的值互为相反数，所以有

从而，其中，m是球的质量，即

同理，可以得到，此外

因此，球体Ω的质心为