一阶线性微分方程在高等数学及其应用（下）中的解析

形如

的微分方程,称为一阶线性微分方程.

其中,P(x)和Q(x)为已知的连续函数,P(x)是函数y 的系数,Q(x)称为自由项.

如果Q(x)≠0,则称方程(1)为一阶非齐次线性微分方程.

如果Q(x)≡0,即

称方程(2)为方程(1)所对应的一阶齐次线性微分方程.

1.一阶齐次线性微分方程的解法

方程(2)属于可分离变量微分方程,整理可得

两端积分,并把任意常数写成ln C 的形式,得

即

式(3)即方程(2)的通解.

2.一阶非齐次线性微分方程的解法(常数变易法)

由于方程(1)与方程(2)的差异在于自由项Q(x)≠0,因此,推测方程(1)的通解应与式(3)的形式类似,但其中的C 不可能是常数,而应该是一个关于x 的函数,记作u(x).

不妨设函数

是非齐次线性微分方程(1)的解,此时问题转化为确定函数u(x).

为此将式(4)两端对x 求导,得

代入方程(1)中,得

化简后,得

将上式积分,得

其中,C 是任意常数.

把式(5)代入式(4)中,即得非齐次线性方程(1)的通解为

式(6)为一阶非齐次线性方程的通解公式.

将式(6)改写为两项之和(www.xing528.com)

容易看出上式第一项就是方程(1)的一个特解;第二项是方程(1)所对应的齐次线性方程的通解.由此可知,一阶非齐次线性方程的通解是非齐次方程的一个特解与对应的齐次方程的通解之和.

解　方法1:直接利用通解公式

将P(x) =2x,Q(x) =2xe -x2,代入式(6),得原方程的通解为

*方法2:用常数变易法求解

先求原方程对应齐次微分方程

的通解;再对上式分离变量,得

是所求对应齐次方程的通解.

令C=u(x),则y=u(x)e -x2为原方程的解,则

故得原方程的通解为

例8 (溶液的混合问题)　一容器内盛有50 L 的盐水溶液,其中含有10 g 的盐.现将每升含盐2 g 的溶液以5 L/min 的速度注入容器,并不断进行搅拌,使混合液迅速达到均匀,同时混合液以3 L/min 的速度流出溶液.问在任一时刻t 容器中含盐量是多少?

解　设t 时刻容器中含盐量为x g,则容器中含盐量的变化率为

注意　直接使用一阶非齐次线性方程的通解式(6)时,必须先把方程化为形如式(1)的标准形式,再确定未知函数y 的系数P(x)及自由项Q(x).

习题5.2

1.求下列各微分方程的通解:

(1)xy′-y ln y=0;　　　　　　　　　　　(2)yy′=exsin x;

2.求下列齐次微分方程的通解:

3.求下列一阶线性微分方程的通解:

(1)y′+y=e -x;(2) xy′=x-y;

(3)y′+2xy=4x;(4)y′-2xy=x e -x2.

4.求下列微分方程满足所给初始条件的特解:

5.曲线通过原点,且该曲线上任一点M(x,y)处的切线斜率等于2x+y,求该曲线的方程.