多元函数连续性-高等数学及其应用

为了描述多元函数的连续型,类似于一元函数微积分学,给出了全增量和连续的概念.称Δz=f(x+Δx,y+Δy) -f(x,y)为二元函数的全增量,如果全增量在某点满足

如果函数f(x,y)在区域D 内的每一点都连续,那么就称函数f(x,y)在D 上连续,或称f(x,y)是D 上的连续函数.

二元函数的连续性概念可相应地推广到n 元函数上去.

与闭区间上一元连续函数的性质相类似,在有界闭区域上多元连续函数也有以下性质:

性质1(最大值和最小值定理)　在有界闭区域D 上的多元连续函数f(P),在该区域上至少取得它的最大值和最小值各一次.这就是说,在D 上至少有一点P1 及一点P2,使得f(P1)为最大值而f(P2)为最小值,即

性质2(介值定理)　在有界闭区域D 上的多元连续函数f(P),如果取得两个不同的函数值,则它在该区域上取得介于这两个值之间的任何值至少一次.特殊地,如果μ 是在函数的最小值m 和最大值M 之间的一个数,则在D 上至少有一点Q,使得

需要指出的是,一元函数中关于极限的运算法则,对多元函数仍然适用.根据极限运算法则,可证明多元连续函数的和、差、积均为连续函数;在分母不为零处,连续函数的商也是连续函数;多元连续函数的复合函数也是连续函数.(www.xing528.com)

与一元初等函数相类似,多元初等函数也是可由一个式子所表示的多元函数,而这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的.例如

等都是多元初等函数.

根据上面指出的连续函数的和、差、积、商的连续性以及连续函数的复合函数的连续性,以及基本初等函数的连续性,可进一步得以下结论:

一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的.

习题8.1

1.求下列函数的定义域: