空间曲线切线与法平面

图8.10

1.空间曲线的切线与法平面

设空间曲线Γ 的参数方程为

这里假定φ(t),ψ(t),ω(t)都在[α,β]上可导.

在曲线Γ 上取对应于t=t0 的一点M0(x0,y0,z0)及对应于t =t0 +Δt 的邻近一点M(x0 +Δx,y0 +Δy,z0 +Δz).作曲线的割线MM0(见图8.10).其方程为

当点M 沿着Γ 趋于点M0 时,割线MM0 的极限位置就是曲线在点M0 处的切线.考虑

当M→M0,即Δt→0 时,得曲线在点M0 处的切线方程为

曲线的切向量:切线的方向向量称为曲线的切向量.向量

就是曲线Γ 在点M0 处的一个切向量.

法平面:通过点M0 而与切线垂直的平面,称为曲线Γ 在点M0 处的法平面.其法平面方程为

于是,切线方程为

法平面方程为

特别地,若曲线Γ 的方程为

则曲线方程可看成参数方程

此时,切向量为 =(1,φ′(x),ψ(x)),进而能写出其对应的切线方程和法平面方程.

2.曲面的切平面与法线

设曲面Σ 的方程为F(x,y,z) =0,M0(x0,y0,z0)是Σ 上的一点,函数F(x,y,z)的偏导数在M0 点连续且不同时为零,则过M0 的任意曲线的切线在同一平面上,称此平面为曲面在M0 处的切平面,M0 处切平面的法线称为曲面在该点的法线(见图8.11).

设曲面Σ 上,过点M0 任意引一条曲线Γ.其参数方程式为

图8.11

因为曲线Γ 在曲面上,所以

设t=t0——M0(x0,y0,z0),曲线在点M0 的切向量为(www.xing528.com)

其中,x′(t0),y′(t0),z′(t0)不全为零.方程F[x(t),y(t),z(t)] =0 在t=t0 处关于t 求导得

上式可表示为两个向量的数量积

其中,向量

曲线Γ 是曲面Σ 上过点M0 的任意一条曲线,即过点M0 的所有曲线的切线都与同一向量n 垂直,说明曲面上通过点M0 的所有曲线在点M0 的切线都在同一个平面上. 此平面就是曲面Σ 在点M0 处的切平面.

点M0 处曲面的切平面方程为

点M0 处曲面的法线方程为

点M0 处切平面的法向量,称为点M0 处曲面的法向量,即

例2　求曲面z2 =2x2 +y2 -7 在点(1,3,2)处的切平面及法线方程.

解　因为

取法向量n=(2,3,-2),所求切平面方程为

即

法线方程为

特别地,若曲面方程为z=f(x,y),此时F(x,y,z) =f(x,y) -z,从而可得法向量为

例3　求旋转抛物面z=x2 +y2 -1 在点(2,1,4)处的切平面及法线方程.

解　曲面f(x,y) =x2 +y2 -1,在一点处的法向量

点(2,1,4)处的切平面方程为

法线方程为

即