计算三重积分-高等数学及其应用（下）

与二重积分相同,三重积分的计算要通过三次积分来进行.下面介绍在直角坐标系下、柱面坐标系下、球面坐标系下的计算方法.

化为三次积分需要选择积分次序和确定积分上下限,其种类方法有很多种.

1.“先一后二”(先定积分,后二重积分)

设积分区域Ω,有界闭区域Dxy为Ω 在xOy 平面上的投影区域,构成Ω 的边界面由3 部分组成,以Dxy的边界为准线,母线平行于Oz 轴的柱面,另外两部分是下边界面z=z1(x,y),上边界面z=z2(x,y).设z1(x,y)、z2(x,y)都是Dxy上的连续函数(见图9.21).

Ω 的特点是:在Dxy上任一点(x,y)作平行于z 轴的直线,则直线与Ω 的上下边界面至多有两个交点. 积分区域可表示为

图9.21

在此积分区域中,三重积分可化为“先一后二(先定积分,后二重积分)”,即先将x 和y 看成定值,则f(x,y,z)为z 的函数.将f(x,y,z)在闭区间[z1(x,y),z2(x,y)]上对z 作定积分,积分结果是关于x 和y 的函数,再在Dxy上计算二重积分

根据Dxy的不同,按9.2 节的方法分为直角坐标系、柱面坐标系计算三重积分.

1)直角坐标系下三重积分的计算

由定义可知,如果f(x,y,z)在区域Ω 上可积,和式的极限存在且与D 的分法无关.因此,在直角坐标系中,采用平行于坐标面的平面来分割Ω,除了含Ω 的边界点的小闭区域外,小闭区域Δvi 为长方体.设其边长分别为Δxi,Δyi,Δzi,长方体的体积

即体积元素为dv=dxdydz,所以在直角坐标系中式(1)为

若Dxy为X 型区域

则式(1)为

称为先对z 再对y 后对x 的三次积分.

若Dxy为Y 型区域

则式(1)为

称为先对z 再对x 后对y 的三次积分.

图9.22

解　积分区域Ω 在xOy 平面的投影区域Dxy是由坐标轴与直线x+y=1 围成的区域,Dxy:0≤x≤1,0≤y≤1 -x,所以

2)柱面坐标系中三重积分的计算

对空间的点M(x,y,z),它在xOy 平面上的投影点为P(x,y,0).设原点到点P 的距离为ρ,线段OP 与x 轴正向的夹角为θ,(ρ,θ)是点P 在xOy 平面上的极坐标. z 表示点M 的竖坐标, 则空间点M 就可用3 个有序数ρ,θ,z 来表示,记为M(ρ,θ,z),称(ρ,θ,z)为点M 的柱坐标(见图9.23).

直角坐标(x,y,z)与柱面坐标(ρ,θ,z)的关系为

图9.23

若三重积分的被积函数及投影区域D 用极坐标表示比较简单,“先一后二”在柱面坐标系中通常化为先对z,再对ρ,后对θ 的三次积分.

设积分区域Ω 及在xOy 平面上的投影D 为

则式(1)为

图9.24

图9.25

解　积分区域Ω 如图9.25 所示.(www.xing528.com)

由图9.25 可知,Ω 在xOy 平面上的投影区域Dxy为圆形闭区域x2 +y2≤4,Ω 和Dxy可表示为

以上介绍的先一后二是一种常用的有代表性的方法.类似地,将Ω 投影到yOz,zOx 坐标面上的区域Dyz,Dzx,分别用平行于x 轴或y 轴的直线穿过Ω 时,如果直线与Ω 的边界至多有两个交点,也可把三重积分化为其他顺序的先一后二的三次积分来计算.

*2.“先二后一”(先二重积分,后定积分)

若被积函数只与一个变量z 有关,将积分区域Ω 投影到Oz 轴上,投影区间为[c1,c2](见图9.26),在[c1,c2]内任取一点z,过z 点作垂直于Oz 轴的平面截Ω,截面为Dz(它在xOy 上平面上的投影与Dz 的形状相同,仍记为Dz),其面积较易求得.设积分区域可表示为

可将三重积分化为“先二后一”(先二重积分,后定积分)的三次积分,即将z 作为常数,先在Dz 求二重积分,二重积分的结果是关于z 的一元函数F(z),再F(z)在[c,d]对z 求定积分可得

图9.26

这种计算的三重积分的方法称为“先二后一”的积分.

*例5　用“先重后单”法计算本节例2.

解　将Ω 投影到z 轴得投影区间[0,R],在[0,R]内任取一点z,过此点作垂直于z 轴的平面.该平面截Ω 为一平面域D(z)(见图9.27),可表示为

图9.27

图9.28

于是*3.球面坐标系下三重积分的计算

空间点M 可用有序数r,φ,θ 表示,记为M(r,φ,θ),称(r,φ,θ)为点M 的球坐标.

直角坐标(x,y,z)与球面坐标(r,φ,θ)的关系为

图9.29

球坐标系中,有:

r=常数,即以圆点为中心的球面;

φ=常数,即以圆点为顶点,z 轴为轴的圆锥面;

θ=常数,即过z 轴的半平面.

利用球面坐标计算三重积分,需要将三重积分变换为球面坐标系下的三次积分.因此,用3 组坐标面r=常数,φ=常数,θ=常数把Ω 分成n 个小闭区域,小闭区域近似小六面体(除含边界点的小闭区域),其体积Δv ≈r2sin φΔrΔφΔθ,即球面坐标下的体积元素为dv =r2sin φdrdφdθ.

图9.30

解　积分区域Ω 如图9.30 所示.

在球面坐标下

习题9.3

1.将下列积分区域Ω 所对应的三重积分化为直角坐标系下的累次积分:

(1)Ω 由3 个坐标面及平面x + y + z = 1 所围得四面体;

(2)Ω 由旋转抛物面z = x2 + y2 及平面z = 1 围成的区域;

(3)Ω 由z = x2 + y2 与z = 2 - x2 - y2 所围的空间闭区域.

2.计算下列三重积分:

3.利用柱面坐标计算下列三重积分:

4.利用球面坐标计算下列三重积分: