重积分的定义及性质：三重积分详解

重积分的定义及性质

（1）定义

二重积分的定义

其中，di是Δσ_i的直径，（ξ_i，η_i）∈Δσ_i称为介点（i=1，2，…，n）.

几何意义：当z=f（x，y）≥0，（x，y）∈D时，二重积分I表示以z=f（x，y）为曲顶，以D为底面的曲顶柱体的体积.，A为D的面积.

三重积分的定义

其中，d_i是ΔV_i的直径，（ξ_i，η_i，ζ_i）∈ΔV_i称为介点（i=1，2，…，n）.

物理意义：当u=f（x，y，z）≥0，（x，y，z）∈Ω时，三重积分I表示以u=f（x，y，z）为体密度的空间物体Ω的质量.， V为Ω的体积.

（2）重积分的性质

重积分的许多性质和定积分是一样，如线性性、区域的可加性、不等式性与绝对可积性、中值定理等.对此我们不再一一列举，下面给出重积分的对称定理.

二重积分的对称定理　设D是平面上的有界闭区域，函数f（x，y）在D上可积，则

1）若D=D₁+D₂，D₁与D₂关于y轴对称，那么

2）若D=D₁+D₂，D₁与D₂关于x轴对称，那么

3）若是关于x轴、y轴均对称的区域，那么

其中D_i是区域D位于第i（i=1，2，3，4）象限的区域；

4）若D=D₁+D₂，D₁与D₂关于原点对称，那么

5）若D关于直线y=x对称，则

三重积分的对称定理　设Ω是三维空间的有界闭区域，f（x，y，z）在Ω上可积，则

1）若Ω=Ω₁+Ω₂，Ω₁与Ω₂关于xOy平面对称，那么

2）若Ω=Ω₁+Ω₂，Ω₁与Ω₂关于z轴对称，那么

3）若Ω=Ω₁+Ω₂，Ω₁与Ω₂关于原点对称，那么

4）若是关于三个坐标平面均对称的区域，那么

其中Ω_i表示Ω在第i（i=1，2，…，8）卦限的那部分区域.

需要指出的是，仅当积分区域的对称性和被积函数的奇偶性同时满足时，才能使用重积分的对称定理.

（3）二重积分的计算

计算二重积分的基本方法是：化成累次积分.而化累次积分的方法是根据积分区域D的形状来确定的.

若D=[a，b]×[c，d]为矩形区域，则有

若D={（x，y）a≤x≤b，φ₁（x）≤y≤φ₂（x）}为X型区域，则有

若D={（x，y）ψ₁（y）≤x≤ψ₂（y），c≤y≤d}为Y型区域，则有

两点说明：（a）积分区域D从整体来看，它可能既不是X型也不是Y型区域，但总可分为若干个X型或Y型区域.利用积分区域的可加性先在每个小的X型或Y型区域上计算，然后相加即可.

（b）不同顺序的累次积分，计算的复杂程度差别非常大（可能某一顺序的累次积分无法积出！）因此选择合适的积分顺序是重要的.

另外，在计算重积分时，要注意使用对称定理和几何意义（主要指重心或形心）来提高运算的速度.

二重积分的变量替换定理　设变换

T：x=x（u，v），y=y（u，v），（u，v）∈D′.

满足：1）T建立了D与D′之间的一一对应；

2）x，y在D′上具有一阶连续偏导数，其逆变换u=u（x，y），v=v（x，y）在D上具有一阶连续偏导数；

3）T的Jacobi行列式在D′上恒不为零，则

满足上述要求的变换T称为正则变换.

在二重积分的计算中，最常用的变换是极坐标变换或广义极坐标变换.

例7.25 作极坐标变换，将二重积分

化为定积分，其中D={（x，y）0≤y≤x≤1}.

解 如图7-1所示.令x=rcosθ，y=rsinθ，则

图7-1 例7.27图

例7.26 将下面的二重积分化为定积分：

其中D={（x，y）x²+y²≤1}，a²+b²≠0.

解 作正交变换，，则，xy平面上的区域D变成了uv平面上的区域D′：u²+v²≤1.于是有，

例7.27 设区域D是由y=x³，y=1及x=-1所围成，f（u）是连续函数.计算

解 如图7-2所示.由于被积函数中出现了抽象函数，所以直接计算是行不通的.因此必须考虑用对称定理，为此需要对区域进行适当的分割.

用y=-x³将区域D分为D₁和D₂两部分，其中D₁关于y轴对称，D₂关于x轴对称.故

类题1 求二重积分

的值，其中D是由直线y=x，y=-1和x=1所围成的区域（数学Ⅲ，Ⅳ）.

图7-2 例7.29图

类题2 选择题：设D是xy平面上以（1，1），（-1，1）和（-1，-1）为顶点的三角形区域，D₁是D在第一象限的部分，则

例7.28 计算积分

其中D：x²+y²≤ax.

解 因为积分区域D关于x轴对称，而x³y，是关于y的奇函数，故

作极坐标变换：x=rcosθ，y=rsinθ，则

例7.29 计算由曲线所围的区域D的面积（a>0，b>0）.

解 任一条直线y=kx（k>0）与曲线有两个交点（0，0）与

由，知，曲线所围的区域位于第一象限内.作变换：

x=arcos²θ，y=brsin²θ，

则

区域D变成区域于是，区域D的面积

注7.5 这个题目的计算，我们作了广义极坐标变换.一般地，对形如（ax-c）p+（by-d）p函数式子可通过变换：

将它变为r.

类题1 求由曲线与直线x=0，y=0所围的区域面积.

提示 作变换：x=ar⁴cos⁸θ，y=br⁴sin⁸θ.

类题2 求积分

其中D是由曲线和直线x=c，y=c所围成，而a，b，c>0.

提示 作变换：x=c+ar²cos⁴θ，y=c+br²sin⁴θ.

例7.30 计算

解 因为

所以

作极坐标变换：x=rcosθ，y=rsinθ，则有

例7.31 1）计算积分；

2）设z=f（x，y）在闭正方形D：0≤x≤1，0≤y≤1上连续，且满足下列条件：证明存在（ξ，η）∈D，使得

这里A是1）中的积分值（北大）.

1）解 如图7-3所示.

2）证明 由知，

所以

由积分中值定理知，存在（ξ，η）∈D，使

故

图7-3 例7.33图

例7.32 计算积分

解 由对称性，有

而

例7.33 计算二重积分

其中D表示由直线x+y=1及两坐标轴所围成的三角形区域（复旦）.

解 作变换：u=x+y，，则，而积分区域D变成了uv平面上的区域Ω={（u，v）0≤u≤1，0≤v<+∞}.于是，有

类题 求曲线C：∣lnx∣+∣lny∣=1所围的平面图形面积A.

提示 曲线C所围的平面区域D位于第一象限.

当x≥1，y≥1时，C的方程为：lnx+lny=1，即xy=e；

当x≥1，0<y<1时，C的方程为：lnx-lny=1，即；

当0<x<1，y≥1时，C的方程为：-lnx+lny=1，即；

当0<x<1，0<y<1时，C的方程为：-lnx-lny=1，即.

这四条曲线构成了区域D的边界，于是有

作变换：u=xy，，则变换的Jacobi式为，区域D变成了uv平面的区域所以

例7.34 给定积分，作正则变换x=x（u，v），y=y（u，v），区域D变为Ω，如果变换满足

证明：

（北师大）.

证明 利用复合函数的微分法，有

通过计算易知

注意到

可得

例7.35 设f是{（x，y）x²+y²≤1}上的二次连续可微函数，且满足计算积分

（复旦）:

解 作极坐标变换：x=rcosθ，y=rsinθ，则

所以

利用格林公式，有

于是

类题1 设f（x，y）在x²+y²≤1二次连续可微，且满足

试计算积分

类题2 设函数z=f（x，y）满足方程F（x+az，y+bz）=0，其中F为可微函数，a，b为常数，求（华南理工）.

提示 在方程F（x+az，y+bz）=0两边分别关于x，y求偏导，可得

进而有于是，

例7.36 计算积分

（数学Ⅱ）.

解 积分区域D是由，y=x及y=2所围成（如图7-4所示）.交换累次积分的顺序，有

图7-4 例7.38图

注7.6 计算累次积分的一般步骤：根据积分的上、下限得到表示积分区域D的不等式组，并由此画出积分区域的草图.然后根据积分区域的类型选择合适的积分顺序.

（4）三重积分的计算.

计算三重积分的基本方法是：化为累次积分（先一后二或先二后一）.在化累次积分时要注意选择适当的坐标系（直角坐标、柱坐标、球坐标）和合适的积分顺序.

在计算三重积分时类似于二重积分的变量替换定理也成立，在此不再赘述.常用的变量变换有

柱坐标变换

x=rcosθ，y=rsinθ，z=z，∣J∣=r，

0≤r<+∞， 0≤θ<2π，-∞<z<+∞.

由此可见，柱坐标变换就是z不变，而将x，y用极坐标变换.因此，将三重积分先对z积分化成二重积分（先一后二）后，再用极坐标变换其结果是一样的.

当然，相应于柱坐标变换也有广义柱坐标变换.

球坐标变换

x=rsinφcosθ， y=rsinφsinθ， x=rcosφ， ∣J∣=r²sinφ，

0≤r<+∞， 0≤θ<2π， 0≤φ≤π，(https://www.xing528.com)

其中r是球半径，θ是转动角，φ是仰角（即与z轴正向的夹角）.

另外，相应于球坐标变换也有广义球坐标变换.

（5）重积分的应用.

几何上的应用

1）求平面区域D的面积，即；

2）求空间区域Ω的体积，即；

3）求曲面的面积.

设二元函数z=f（x，y）及其一阶偏导数都连续，它所对应的曲面S与平行于z轴的直线只交于一点，D_xy为该曲面在xOy平面上的投影，则曲面S的面积为

在物理上的应用

1）求质量

薄片的质量，其中ρ（x，y）≥0是薄片的面密度.

空间立体的质量，其中ρ（x，y，z）≥0是空间立体的体密度；

2）求重心.

薄片的重心

空间立体的重心

3）求转动惯量

薄片关于x轴，y轴及原点的转动惯量分别为：

空间立体关于x，y，z轴及原点的转动惯量分别为：

例7.37 计算三重积分，其中Ω是由曲面与所围的区域（数学Ⅰ）.

解 由于积分区域Ω关于yOz平面对称，所以对积分采用“先二后一”的方法，则有

本例亦可用球坐标变换和柱坐标变换来求解.

类题1 计算三重积分，其中Ω为球体x²+y²+z²≤R²和x²+y²+z²≤2Rz（R>0）的公共部分.

提示 用“先二后一”法.

当时，用z=z的平面去截Ω，截口是圆域D₁（z）：x²+y²≤2Rz-z²；

当时，用z=z的平面去截Ω，截口也是圆域D₂（z）：x²+y²≤R²-z².于是，有

类题2 计算三重积分：，其中Ω：x²+y²+（z-1）2≤1.

提示 用“先二后一”法.

例7.38 设有一高度为h（t）（t为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程（设长度单位为cm，时间单位为h）.已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数为0.9），问高度为130cm的雪堆全部融化需多长时间？（数学Ⅱ）.

解 设V（t）为雪堆的体积，S（t）为雪堆的侧面积，则

由题意知，，即，解之可得

由初始条件h（0）=130，可得令h（t）→0可得t=100（h）.故雪堆全部融化所需的时间为100h.

例7.39 设有一半径为R的球体，P₀是此球的表面上的一定点，球体上任一点的密度与该点到P₀的距离的平方成正比（比例常数k>0），求球体的重心位置（数学Ⅰ）.

解法1 记所考虑的球体为Ω，以Ω的球心为坐标原点O，射线OP₀为x轴的正向建立坐标系，则P₀点的坐标为（R，0，0），球面方程为

x²+y²+z²=R².

密度函数为

ρ（x，y，z）=k[（x-R）²+y²+z²].

设重心坐标为，由对称性可知，y=0，z=0，

而

故

因此球体Ω的重心位置为

解法2 选取P₀为坐标系的原点，球心坐标为（0，0，R），则球面方程为

x²+y²+（z-R）²=R².

而此时密度函数为

ρ（x，y，z）=k（x²+y²+z²）.

设重心坐标为，由对称性知，x=0，y=0，

而

故

因此球体Ω的重心坐标为

注7.7 求重心问题，虽然有固定的方法，但是坐标系的选择是至关重要的，合适的坐标系可使问题大大简化.在解法1中，我们多次使用了对称性的结论.

类题 计算三重积分，其中Ω={（x，y，z）x²+y²+z²≤1}.

提示 断言：

易见Ω关于平面Π：x+y+z=0对称，只要能证明tan（x+y+z）在关于Π的对称点处的值相反即可.

设（x₀，y₀，z₀）∈Ω，其关于Π的对称点设为（x₁，y₁，z₁），则点（x₁，y₁，z₁）必在直线L：上，将其代入Π的方程可得：，所以L与Π的交点为

由

可得

所以tan（x₁+y₁+z₁）=tan（-x₀-y₀-z₀）=-tan（x₀+y₀+z₀），即tan（x+y+z）在关于Π对称的点处的值相反.

于是，有，用球坐标变换易得：

例7.40 计算三重积分

（中科院，1983）.

解 用柱坐标变换.不难看出，积分区域Ω变成

于是有

事实上，由于积分区域Ω关于xOy平面对称，而被积函数关于z为奇函数，所以由对称性可知I=0.

例7.41 求由（x²+y²）2+z⁴=y所围的立体的体积（南开）.

解 显然立体关于xOy平面、yOz平面对称.在上半空间y≥0上，用Ω表示位于第一卦限部分的区域，则

作广义球坐标变换：

故

例7.42 设a，b，c为不全为零的实数，f（t）是连续函数.

其中Ω：x²+y²+z²≤1.

（1）将I化为单重积分；

（2）当f（t）=cost时，计算I的值（第（2）问，南开）.

（3）记第（2）问的结果为I（k），证明：I（k）在（0，+∞）内有无穷多个零点.

解 （1）记，把单位向量扩充为一个正交矩阵

作变换

由于A^-1仍然是正交阵，故|J=detA^-1|=1，且该变换将区域Ω变成区域Ω′：u²+v²+w²≤1.于是

例题7.26是这个问题的二维情形.

（2）当f（t）=cost时，有

（3）记g（k）=sink-kcosk，只需证明：g（k）在（0，+∞）内有无穷多个零点即可.令g′（k）=ksink=0，可得g（k）的驻点：k=nπ，n∈N.易见

由此可见，g（k）在（0，+∞）内有无穷多个极大值和无穷多个极小值.

而极大值g（（2m+1）π）=k>0，极小值g（2mπ）=-k<0.由于g（k）是连续函数，所以它在（0，+∞）内必与x轴有无穷多个交点，即g（k）在（0，+∞）内有无穷多个零点.

例7.43　设A=（a_ij）3×3是正定矩阵，证明椭球体

的体积等于，即

证明　因为A正定，所以存在正交矩阵T，使得

T′AT=diag（λ₁，λ₂，λ₃），

其中λ_i>0（i=1，2，3）是A的特征根.记

作变换

则变换的雅可比（Jacobi）行列式为

注意到

X′AX=（TΛY）′A（TΛY）=Y′Λ′T′ATΛY

=Y′Λ′（T′AT）ΛY=Y′Y，

有

例7.44　计算下面的三重积分.

其中Ω：x²+y²+z²≤R².

解（1）作柱坐标变换：x=rcosθ，y=rsinθ，z=z，则

（2）作新坐标系Oξηζ，使ζ轴过点（a，b，c），且使坐标系Oξηζ到坐标系Oxyz之间的变换为正交变换（从坐标系Oξ_ηζ→坐标系Oxyz可通过旋转变换来实现，因此从坐标系Oξηζ到坐标系Oxyz之间的正交变换是存在的！），变换的行列式为1.显然该变换将半径为R的球仍变为半径为R的球.记a²+b²+c²=h²，则由（1）知

类题 设∑是单位球面x²+y²+z²=1，A是∑内部一点，它与原点的距离为q（0<q<1），ρ为点A与∑上的点之间的距离，求.

提示 设A点的坐标是（a，b，c），由题设条件，且0<q<1，而

ρ²=（x-a）²+（y-b）²+（z-c）²，其中（x，y，z）∈Σ.

作坐标系的正交变换，使得A点位于新坐标系Oξηζ的ζ轴上，这样可以将积分I化成下面的形式

令x=cosθsinφ，y=sinθsinφ，z=cosφ，0≤θ≤2π，0≤φ≤π，通过计算可得dS=sinφdθdφ.于是

（6）广义重积分.

广义重积分在近年来各类学校的考题中出现的不多，尤其是证明题，但计算题中也曾出现过一些.广义重积分的计算大都也是通过化成累次积分甚至单积分来实现的，下面我们将通过例题来说明这一点.

比较判别法 设D是无界区域，D是由有限段光滑或逐段光滑曲线所组成.函数f，g在D上有定义，对D的任一可求面积的有界子区域D_r，f，g均在D_r上有界可积.如果g非负，且

f（x，y）≤g（x，y）， ∀（x，y）∈D，

则当g在D上（广义）可积时，f也在D上（广义）可积；

如果

f（x，y）≥g（x，y）， ∀（x，y）∈D，

则当g在D上的广义积分发散时，f在D上的广义积分也发散.

记，取（C为常数），由上述比较判别法可得如下的

柯西判别法 对D，f的要求同上，则

（1）如果对充分大的r，有

则广义积分收敛；

（2）如果D内含有一个顶点在原点的无限扇形：D′={（r，θ）r≥r₀，α≤θ≤β}，且在D′上，

则广义积分发散.

与一元函数在无限区间上的广义积分不同，广义重积分的收敛性与绝对收敛性等价.

对于无界函数在有界区域上的广义重积分可类似地讨论，在此不再赘述.

例7.45 计算

解

例7.46 讨论广义重积分

的敛散性，其中D={（x，y）0≤x≤1，x+y≥1}.当积分收敛时，求积分的值.

解 因为被积函数恒正，故可取D_r={（x，y）0≤x≤1，1≤x+y≤r}，显然当r→+∞时，D_r趋于D.记

作变换：x=u，x+y=v，则

显然当p>1时，积分收敛，且积分值为.

例7.47　讨论广义积分

的敛散性.

解　由对称性，有

显然，I与下面的积分I′具有相同的敛散性，

记D_r={（x，y）1≤x^p+y^q≤r²，x≥0，y≥0}，显然当r→+∞时，D_r趋于区域D={（x，y）x+y≥1，x≥0，y≥0}.

下面考察

令，，则，1≤ρ≤r，

于是

由此可见，当时积分收敛.

例7.48　计算广义三重积分

其中D为0<x<π，0<y<π，0<z<π.

解　作变换：，，，则0<u，v，w<+∞，

所以

其中D′为u>0，v>0，w>0.

再作球坐标变换：u=rsinφcosθ，v=rsinφsinθ，w=rcosφ，则0<θ，，0<r<+∞，且J=r²sinφ.而

故

其中λ=cos²θsin²θsin⁴φcos²φ.由上式可见，积分是存在的，下面我们来计算它.

作变换：λr⁴=s，则

从而