高等数学：定积分性质详解

性质5.1（线性性） 若函数f（x）、g（x）在区间［a，b］上可积，k为一常数，则kf（x），f（x）±g（x）在区间［a，b］上也可积，且

综合式（5.5）与式（5.6）即得

并可推广到有限个函数的情形，即有限个函数的线性组合的定积分等于各函数的定积分的线性组合.

性质5.2（对区间的可加性） 设函数f（x）在有限闭区间I上可积，a，b，c∈I，则

证 （1）当a＜c＜b时，因为函数f（x）在区间［a，b］上可积，所以不论怎样分割区间［a，b］积分和式的极限都不变，因此在分割区间［a，b］时，可以使c永远是一个分点.于是，f（x）在区间［a，b］上的积分和等于区间［a，b］上的积分和加区间［a，b］上的积分和，即

令λ→0时，上式两端同时取极限，即

（2）当a＜b＜c时，由（1）已证的结果，有

（3）当a，b，c的大小关系为其他情形时，用同样的方法可以证明.

性质5.3 如果在区间［a，b］上f（x）≡1，则

此性质的证明留给读者.

性质5.4（保号性） 若函数f（x）在区间［a，b］上可积，且f（x）≥0，x∈［a，b］，则

证 因为函数f（x）≥0，x∈［a，b］

从而，

f（ξi）≥0　（i=1，2，…，n）

又

Δxi ＞0　（i=1，2，…，n）

所以

故

由性质5.4可得下面两个推论：

推论5.1（比较性） 若函数f（x），g（x）在区间［a，b］上可积，且f（x）≤g（x），x∈［a，b］，则

证明 因为g（x）-f（x）≥0，由性质5.4得，再由性质5.1便得到所要证明的不等式.

推论5.2 若函数f（x）在区间［a，b］上可积，则|f（x）|在区间［a，b］上也可积（证略），且

证明 因为-|f（x）|≤f（x）≤|f（x）|，由性质5.1及推论5.1得

即

性质5.5（估值定理） 若函数f（x）在区间［a，b］上可积，且m≤f（x）≤M，x∈［a，b］，则

证明 因为m≤f（x）≤M，由性质5.1及推论5.1得

再由性质5.3得

性质5.6（积分中值定理） 若函数f（x）在闭区间［a，b］上连续，则在区间［a，b］上至少存在一点ξ，使得

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式（5.8）称为积分中值公式.

证 因为函数f（x）在闭区间［a，b］上连续，所以f（x）在闭区间［a，b］上一定存在最小值m和最大值M，即

由性质5.5，有

不等式各项除以b-a，得

由闭区间上连续函数的介值定理知，在［a，b］上至少存在一点ξ，使得

即

上面在a＜b时证明了积分中值公式，显然当a＞b时积分中值公式也是成立的.

图5.6

积分中值公式在几何上表明，若函数f（x）在区间［a，b］上连续，则在区间［a，b］上至少存在一点ξ，使得以区间［a，b］为底边、以曲线y=f（x）为曲边的曲边梯形的面积恰好等于同一底边而高为f（ξ）的面积，如图5.6所示.

通常称为函数f（x）在区间［a，b］上的平均值，这个概念可看作有限个数平均值概念的拓广.

＊性质5.7（推广的积分中值定理） 设函数f（x），g（x）在闭区间［a，b］上连续，且g（x）在［a，b］上不变号，则在区间［a，b］上至少存在一点ξ，使得

证明 由于g（x）在［a，b］上不变号，不妨设g（x）≥0，x∈［a，b］；于是有

因为函数f（x）在闭区间［a，b］上连续，所以f（x）在［a，b］上有最大值M和最小值m，即

m≤f（x）≤M　x∈［a，b］

于是

mg（x）≤f（x）g（x）≤Mg（x）

由性质5.1和推论5.1得

若，由上述不等式（5.10）知：，此时任取ξ∈［a，b］，都有式（5.9）都成立.

若，那么用去除式（5.10）各项，得

由闭区间上连续函数的介值定理知，在［a，b］上至少存在一点ξ，使得

从而有

前面假定g（x）≥0时证明了式（5.9）.如果g（x）≤0，类似可证.在公式（5.9）中，令g（x）≡1，便得

这就是积分中值公式.

例5.4 估计定积分的值.

解 设先求f（x）在区间上的最大值M和最小值m.由于f（x）在区间上连续，且

所以，f（x）在区间上单调递减，于是

由性质5.5，得

即