高等数学上册-定积分性质简介

为了以后计算及应用方便，首先进行如下补充规定：

（1）当a=b时，；

（2）当a＞b时，

由补充规定（2）可知，交换定积分上、下限时，绝对值不变而符号相反.

假设下列性质中所列出的定积分都是存在的，则

性质1

证明

此性质可以推广到有限多个函数求和的情况.

性质2（k是常数）

证明

性质3 设a＜c＜b，则

这个性质表明定积分对积分区间具有可加性，而且不论a，c，b的相对位置如何，此等式总是成立的.

性质4 如果在区间[a，b]上f（x）≡1，则

性质5 如果在区间[a，b]上f（x）≥0，则

证明 由f（ξ_i）≥0（i=1，2，…，n），Δx_i≥0，则

又λ=max｛Δx₁，Δx₂，…，Δx_n｝，则由极限的保号性有

推论1 如果在区间[a，b]上有f（x）≤g（x），则

证明 由g（x）-f（x）≥0，得

即

所以

推论2

证明 由于-f（x）≤f（x）≤f（x），则

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即

性质6 （估值不等式）设M及m分别是函数f（x）在区间[a，b]上的最大值及最小值，则

证明 由于m≤f（x）≤M，则

即

据此性质，利用被积函数在积分区间上的最大值及最小值，可以估计积分值的大致范围.

性质7 （积分中值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则在积分区间[a，b]上至少存在一点ξ，使

成立.这个公式叫作积分中值公式.

证明 由

，得

由介值定理知，在区间[a，b]上至少存在一个点ξ，使

即

积分中值公式的几何解释：在区间[a，b]上至少存在一点ξ，使得以区间[a，b]为底边、曲线y=f（x）为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为f（ξ）的一个矩形的面积（见图5-2）.

图5-2

例1 利用定积分的几何意义，求定积分的值.

解 定积分表示介于x=0，x=1，y=0，之间的面积，则

例2 证明：.

证明 因为在区间[0，1]上的最大值为，最小值为2，则

由积分估值不等式有