高等数学试题分析：填空题的解答

1．已知f（x）＝（x≠0，1），则＝________．

解　本题考查复合函数的概念．根据题意，可得

2．若则f（f（x））＝________．

解　本题主要考查分段函数概念及分段函数复合的基本方法．因为

解不等式f（x）＜0，得x＜－1，此时1＋f（x）＝1＋（1＋x）＝2＋x；解不等式f（x）≥0，得x≥－1．因此

注　本题也可以通过引进中间变量u＝f（x）及利用函数y＝f（u），u＝f（x）的图像得到f（f（x））的表达式，读者不妨一试．

3．＝_________．

解　应用等价无穷小因子代换和关于e的重要极限，则

4．设a，b，c均为正数，则＝_________．

解　这是利用夹逼定理求极限的题目．

令d＝max｛a，b，c｝，则．令n→∞，注意到→1，由夹逼定理即得

5．设

则f（x）＋g（x）的间断点为_________．

解　因为f（x）在R上连续，g（x）的间断点为x＝1，所以由连续函数的性质知x＝1是f（x）＋g（x）的间断点．

或者先写出f（x）＋g（x）的解析表达式：

然后再检验分段点x＝0与x＝1是否是间断点．例如对x＝1，因为

6．函数f（x）＝的间断点分别是________，类型分别为________．

解　本题主要考查连续的定义及间断点的分类．

由于在分母为零处f（x）无定义，所以f（x）的间断点分别是x＝0和x＝1．由于f（x）＝0，所以x＝0是f（x）的第一类（可去）间断点；由于f（x）＝∞，所以x＝1是f（x）的第二类（无穷）间断点．

7．当x→0时，无穷小量x2－sinx 是x 的____阶无穷小．

解　根据无穷小量阶的比较的概念及重要极限＝1即可得结论．

因为＝－1≠0，所以当x→0时，x2－sinx是x 的一阶无穷小．（或填“同”）

8．已知函数f（x）＝在（－∞，＋∞）上连续，则a＝________．

解　显然，当x≠0时f连续，又由f在x＝0处连续的定义知a＝f（x），而(www.xing528.com)

所以a＝－2．

9．设

在x＝0处连续，则a＝________，b＝________．

解　因为

由函数在x＝0处连续知b＝2a＝2，所以a＝1，b＝2．

10．设f（x）＝，则f（x）在x＝________处间断，其类型是_________间断点．

解　这是用极限定义的函数，极限值依赖于x 的取值．由

易知x＝0是第一类间断点．

11．函数f（x）＝的间断点_________是第_________类间断点．

解　由取整函数的定义知

易知x＝0是第一类间断点．

12．已知f（x）＝在x＝0处连续，则a＝________．

解　首先考查f（x），接着考查f（x），再注意到f（x）在x＝0处连续当且仅当f（x）＝f（x）＝f（0）．因为

于是a＝e2．

13．设当x→0时，sin（2x）－2sinx 与xn是同阶无穷小，则n＝_________．

解　根据Maclauris公式，有

于是n＝3．

14．函数f（x）＝（n∈N＊）的间断点是x＝_________，该间断点是第_________类间断点．

解　这是用极限定义的函数，极限值依赖于x 的取值．由

易知x＝1是间断点，且是第一类间断点．

15．＝_________．

解　利用重要极限＝e，即得