高等数学试题分析(2017)：练习题解析

1．若dx＝arctanx＋C，求∫f（x）dx．

2．已知F（x）是f（x）的一个原函数，且f（x）＝，求f（x）．

3．设函数y＝f（x）（0＜x＜）是由方程sint2dt＝0所确定的隐函数，求f（x）的单调区间．

4．设函数f（x）＝（x>0），求f（x）的最大值点．

5．已知g（x）＝tf′（x－t）dt，求g′（x）．

6．设f（x）＝dt，求f′（x）．

7．设f（x）dt，求f″（0）．

8．设f（x）为连续函数，求

9．设x＝x（t）由sint－du＝0所确定，试求x″（0）的值．

10．求极限

11．求极限

12．求极限

13．设f（x）连续，在x＝0可导，且f（0）＝0，f′（0）＝4，求

14．设f′（x）连续，f（0）＝0，f′（0）≠0，F（x）＝（x2－t2）f（t）dt，求常数k，使当x→0时，F′（x）与xk是同阶无穷小．

15．设f（x）＝

求F（x）的表达式．

16．设f（x）连续，且＝4，令φ（x）＝f（tx）dt．

（1）求φ′（x）；

（2）讨论φ′（x）在x＝0的连续性．

17．设f 在区间［0，π］上连续，且f（x）＝sinx＋f（x）dx，求f（x）．

18．设f（x）＝dt，求

19．设f（x）＝2＋，p（x）＝ax2＋bx＋c，求常数a，b，c，使得

p（0）＝f（0），　p′（0）＝f′（0），　p″（0）＝f″（0）

20．已知f（x）连续，且tf（2x－t）dt＝e－x2，若f（1）＝2，求f（x）dx．

21．设G（x）＝dt，求G（x）dx．

22．已知f（x）的一个原函数为（1＋sinx）lnx，求∫xf′（x）dx．

23．计算下列积分：

（30）f（x）dx，其中f（x）＝

（31）xf（x）dx，其中f（x）＝e－t2dt；

（32）＋（x－1）4sin（x－1））dx．

24．对参数p，q，讨论反常积分dx 的敛散性，并给出证明．

25．设D 为曲线y＝x2与直线3x－2y－4＝0所围成的平面图形，求：(www.xing528.com)

（1）D 的面积S；

（2）D 绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积V．

26．计算由双纽线ρ2＝cos2θ所围成的图形在圆ρ＝以外部分的面积．

27．试在曲线L：y＝ex位于第二象限的部分上求一点P（x，y），使过该点的切线与曲线L，y轴以及直线x＝a（a为切线与x轴交点的横坐标）所围成的面积最小．

28．设质量均匀分布的平面薄板由曲线与x 轴所围成，试求其质量m．

29．求曲线与x＝0，x＝4及y＝0所围平面图形绕x轴旋转而成的立体的体积．

30．设D 是由两条抛物线y＝x2与y＝4－3x2所围成的平板．

（1）计算平板D 的面积；

（2）将该平板垂直置于水中，水平面在y＝4处，试求平板一侧所受到的水的静压力．

31．设直线y＝ax（0＜a＜1）与抛物线y＝x2所围成的图形面积为S1，它们与直线x＝1所围成的图形面积为S2．

（1）试确定a的值，使S1＋S2达到最小，并求出最小值；

（2）求该最小值对应的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．

32．设有抛物线Γ：y＝a－bx2（a＞0，b＞0），试确定常数a，b的值，使得

（1）Γ 与直线y＝－x＋1相切；

（2）Γ 与x 轴所围图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积最大．

33．设函数f（x）定义在区间［0，＋∞）上，恒取正值，若对∀x∈（0，＋∞），f（x）在［0，＋∞）上的积分平均值等于f（0）与f（x）的几何平均值，试求f（x）的表达式．

34．在xOy平面上将连接原点O（0，0）和点A（1，0）的线段OA（即区间［0，1］）作n等分，分点记作（k＝1，2，…，n－1），过Pk作抛物线y＝x2的切线，切点为Qk．

（1）设三角形△PkQkA 的面积为Sk，求Sk；

（2）求极限

35．设f（x），g（x）在［－a，a］上连续，f（x）满足条件f（x）＋f（－x）＝A（A为常数），g（x）为偶函数．

（1）证明

（2）计算｜sinx｜arctanexdx．

36．设函数f（x）在［0，1］上二次可导，且f″（x）＜0，证明：

37．设f（x）在区间［－1，1］上连续，且

证明：在区间（－1，1）内至少存在互异的两点ξ1，ξ2，使f（ξ1）＝f（ξ2）＝0．

38．证明不等式：

其中，n是大于1的正整数．

39．设函数f（x）在［2，4］上存在二阶连续导数，且f（3）＝0，证明：至少存在一点ξ∈［2，4］，使得f″（ξ）＝3f（x）dx．

40．设f（x）＝sint2dt，求证：当x>0时，｜f（x）｜＜

41．设｜a｜≤1，求积分I（a）＝｜x－a｜e2xdx 的最大值．

42．设f（x）在区间［0，2］上连续可导，且f（0）＝f（2）＝0，求证：