高等数学试题分析(2017)：填空题结果及解析

1．设D是由x＋y＝1，x－y＝1，x＝0所围成的区域，则

解　因区域D关于x轴对称，而被积函数sin3y关于y是奇函数，故积分等于0．

2．________．

解　如右图所示，先交换积分次序，后计算，则

3．交换二次积分的顺序f（x，y）dy＝________．

解　积分区域

见右图，则

4．将f（x，y）dy 转化为极坐标系下的二次积分为_________．

解　首先由积分限可知积分区域为

再将该区域用极坐标表示为D＝，于是极坐标系下的二次积分为f（ρcosφ，ρsinφ）ρdρ．

5．二次积分dx 的值为_________．

解　交换二次积分的顺序，得

6．x（x＋ysiny）dxdy＝________．

解　利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性，得

7．设f（u）为连续函数，D 是由y＝x3，y＝1，x＝－1所围成的区域，则

解　用y＝－x3将区域D 分为D1＋D2（如图所示），其中D1关于x＝0对称，D2关于y＝0对称．则

8．设f（r）连续，且

则F′（t）＝_________．

解　应用球面坐标公式，设

于是

F′（t）＝4πf（t2）t2

9．设L为由原点O（0，0，0）到点A（－2，－3，6）的直线段，则曲线积分（x＋y＋z）3ds之值为________．

解　直线段L 的方程可写为x＝－2t，y＝－3t，z＝6t（0≤t≤1），则有

10．（x2＋y2＋2x）ds＝________．

解　这是第一型曲线积分，利用曲线关于y 轴对称，以及被积函数x 是奇函数，所以2xds＝0，于是

11．设圆周C：x2＋y2＝1，取逆时针方向，则曲线积分－ydx＋x3dy＝________．

解　利用Green公式，有

12．设椭圆C：3x2＋2y2＝6的周长为l，则曲线积分ds的值为_________．

解　被积函数应满足曲线C 的方程，即

故

其中

13．曲线积分的值为_________，其中C：(www.xing528.com)

解　因为积分在C 上进行，故x2＋y2＋z2＝5，所以

又是C 的弧长，而C 是平面z＝1上的圆x2＋y2＝22，所以ds＝4π（半径为2的圆周长），故原积分值是

14．已知（axex2cosy＋y3）dx＋（bxy2－ex2siny）dy 为某函数u（x，y）的全微分，则a＝________，b＝________．

解　利用凑微分的方法，可得a＝2，b＝3．

15．设Σ：x2＋y2＋z2＝4，则（x2＋y2）dA＝________．

解　由积分区域对称性知

所以

因为积分在曲面Σ 上进行，所以x2＋y2＋z2＝4，故

16．设L 为取正向的圆周x2＋y2＝9，则曲线积分

解　第二型曲线积分的计算一般有两种方法，一是化成定积分，二是利用Green公式或积分与路径无关的条件．这里P（x，y）＝2xy－2y，Q（x，y）＝x2－4x，且＝－2．由Green公式知

其中D 为x2＋y2＝9围成的圆域．

17．设C 是由点A（1，0）经曲线y＝到点B（－1，0）的路径，则

解　C 虽然不是闭曲线，但补上线段后用Green公式计算积分比较方便，即有

其中D 是上半圆周y＝与x 轴所围成的区域．

18．设L 为x2＋y2＝a2正向，则＝_________．

解法一　L 可用参数方程x＝acost，y＝asint表示，起点对应于t＝0，终点对应于t＝2π，则

解法二　可先用x2＋y2＝a2代入积分，然后再用Green公式，得

注　由于题中P（x，y）＝在点（0，0）处无定义，所以不能直接用Green公式．

19．设L：是线密度为1的物质曲线，则其关于z轴的转动惯量为________．

解　

20．若S 是给定的光滑闭曲面，n 为S 的单位外法向量，l为任意给定的常向量，则cos（n，l）dS＝________．

解　利用两向量夹角余弦的定义和Gauss公式得

其中Ω是闭曲面S 所围成的立体．

21．向量场A＝xyi＋cos（xy）j＋cos（xz）k在点M处的散度＝_________．

解　根据散度的定义计算，即得

22．若A＝（y2＋z2）i＋（z2＋x2）j＋（x2＋y2）k，则rotA＝_________．

解　利用旋度的定义计算，即得rotA＝2｛y－z，z－x，x－y｝．

23．当常数α＝_________时，向量场A＝（2x2＋6xy）i＋（αx2－y2）j＋3z2k为有势场，其势函数为_________．

解　A 为有势场等价于rotA ≡0，而rotA＝2x（α－3）k，故α＝3．此时

故势函数为