高等数学试题分析(2017)-填空题解答

1．复方程ez＝ii的所有解z＝_________．

解　因为

于是

2．（－1＋i）i的值为_________．

3．若ez－（1＋i）i＝0，则Im（z）＝_________．

解　因为ez＝（1＋i）i＝，所以

因而Im（z）＝

4．f（z）＝在圆域｜z｜＜1内的奇点z＝_________，奇点的类型是________（如为极点应指明是几级极点）．

解　奇点为z＝0．因为当0＜｜z｜＜1时

其中g（z）＝在｜z｜＜1内解析，且g（0）≠0，故z＝0是一级极点．

5．z＝－i，0，1都是函数f（z）＝的孤立奇点，其类型分别为z＝－i是________，z＝0 是________，z＝1是________（若为极点要指明级）．

解　由于f（z）＝，g（z）在｜z＋i｜＜1内解析，且g（－i）≠0，所以z＝－i是一级极点；同理可知z＝1是二级极点．

由于不存在且不为∞，从而f（z）不存在且不为∞，故z＝0是本性奇点．

6．＝________（积分路径取逆时针方向）．(www.xing528.com)

解　利用Cauchy积分公式或留数定理，即有

或

7．积分＝________（积分路径取逆时针方向）．

解　根据留数定理，有

而，所以，从而

8．＝________．

解　由Cauchy积分公式得

9．函数f（z）＝在圆环域0＜｜z＋3｜＜3 内的Laurent级数为________．

10．留数＝_________．

解　首先可以判断0是的一级极点，由计算公式可得

11．设f（z）＝z2sin，则Res［f（z），0］＝_________．

解　在0＜｜z｜＜＋∞内，因为

得C－1＝－，故Res［f（z），0］＝－