高数2013-2016级B类试卷3分析

2013级（下）（B类）期中试卷

一、填空题

1．过两相交直线＝y＋2＝z＋1的平面方程为_________．

2．曲线在yOz 面上的投影曲线方程为________．

3．已知a＝｛2，－3，1｝，b＝｛1，－2，3｝，c＝｛2，1，2｝，则与a，b同时垂直，且在c上投影为1的向量v＝_________．

4．设f（x，y）＝y2e2x＋（x－1）arctan则fy（1，1）＝________．

5．函数项级数的收敛域为_________．

二、单项选择题

6．设an＞0（n＝1，2，…），若发散收敛，则下列结论正确的是（　）

7．下列反常积分中收敛的是（　）

8．若级数均发散，则（　）

9．设数列｛an｝单调减少（n＝1，2，…）无界，则幂级数（x－1）n的收敛域为（　）

（A）（－1，1］　（B）［－1，1）　（C）［0，2）　（D）（0，2］

三、计算下列各题

10．设z＝xexy，求

11．设f（x）＝试求f（x）的Maclaurin级数，并给出其收敛域．

12．求过点（－1，0，4）且平行于平面3x－4y＋z－10＝0又与直线x＋1＝y－3＝相交的直线方程．

13．求点M（－1，2，0）在平面x＋2y－z＋1＝0上的投影点．

14．设u＝其中f（s，t，v）具有一阶连续偏导数，求全微分du．

15．设f（x）是以2π为周期的函数，它在［－π，π）上的表达式为

将f（x）展开成Fourier级数，并写出和函数S（x）在［－π，π］上的表达式．

四、综合题

16．求幂级数的和函数，并求的和．

17．证明

18．设数列｛an｝，｛bn｝满足an＞0，bn＞0，cosan－an＝cosbn，且收敛．证明：级数收敛．

2014级（下）（B类）期中试卷

一、填空题

1．级数的收敛区间为_________．

2．级数的和等于_________

3．曲线在xOy 平面上的投影曲线绕x 轴旋转所得的曲面方程为________．

4．设a＝m＋n，b＝m－n，｜m｜＝2，｜n｜＝3，（m，n）＝则｜a×b｜＝________．

5．设z＝z（x，y）是由方程du＋sin（x－2y）＝0所确定的隐函数，则在点（0，0）处的全微分＝_________．

二、单项选择题

6．若级数条件收敛，则下列级数中一定绝对收敛的级数是（　）

7．下列反常积分中收敛的是（　）

8．直线与直线（　）

（A）垂直　（B）平行

（C）相交　（D）异面但不垂直

9．若级数的收敛域分别为D1，D2，D3，则 （　）

（A）D1⊆D2⊆D3　（B）D3⊆D1⊆D2

（C）D2⊆D1⊆D3　（D）D1＝D2＝D3

三、计算下列各题

10．已知函数z＝＋g（xy），f具有二阶连续偏导数，g具有二阶导数，求

11．求函数f（x，y，z）＝在点P（－1，0，2）处沿方向a＝i－jk的方向导数．

12．求过直线且垂直于平面x＋3y＋2z＋1＝0 的平面方程．

13．求直线与直线之间的距离．

14．将f（x）＝展开成正弦级数．

四、综合题

15．已知正项级数收敛，an≠1，证明：级数收敛．

16．将f（x）＝（1＋x2）arctanx 展开成Maclaurin级数．

17．判断级数的敛散性；若收敛，还需判断是绝对收敛还是条件收敛．

2015级（下）（B类）期中试卷

一、填空题

1．数项级数的收敛性是_________．

2．幂级数的收敛域是_________．

3．设函数f（u）可微，且f′（0）＝则二元函数z＝f（4x2－y2）在点（1，2）处的全微分＝________．

4．点P（1，1，0）关于平面2x＋y＋z＋3＝0对称点的坐标为_________．

5．曲线在yOz 面上投影曲线的方程为_________．

二、单项选择题

6．的充要条件是（　）

（A）a＝0或b＝0　（B）a·b＝0

（C）a×b＝0　（D）

7．下列反常积分中收敛的是（　）

8．若周期为2π的函数f（x）的傅里叶级数是则函数g（x）＝－f（－x）的傅里叶级数是（　）

9．二元函数f（x，y）＝在（0，0）处（　）

（A）连续且偏导数存在　（B）连续但偏导数不存在

（C）不连续但偏导数存在　（D）不连续且偏导数不存在

三、计算下列各题

10．设z＝f（exsiny，x2－y2），其中f 具有二阶连续偏导数，求

11．设函数z＝z（x，y）是由方程F（cx－az，cy－bz）＝0确定的隐函数，其中F 具有一阶连续偏导数，求

12．求幂函数的和函数，并计算的和．

13．将函数f（x）＝cos2x 在x0＝处展开成幂级数．

14．求两直线之间的距离．

四、综合题

15．将函数f（x）＝展开为正弦级数．

16．设平面Π 经过点P1（2，2，0）和P2（3，1，1），且与球面x2＋y2＋z2＝6相切，求平面Π 的方程．

17．设a1＝a2＝1，an＋1＝an＋an－1（n＝2，3，…）．

（1）证明：当时，幂级数收敛；

（2）该幂级数收敛时，求出它的和函数S（x）．

2016级（下）（B类）期中试卷

一、填空题

1．数项级数的和为________．

2．设向量u，v，w满足u＋v＋w＝0，｜u｜＝｜v｜＝1，且｜u｜·｜v｜＝0，则｜w｜＝_________．

3．设空间曲线在xOy 平面上的投影曲线为C，则C 在xOy 平面上所围平面区域的面积为_________．

4．曲线绕x轴旋转一周所成旋转曲面的方程为___________．

5．函数f（x，y，z）＝x2y＋z2在点（1，2，2）处的梯度向量为_________．

二、单项选择题

6．直线与直线（　）

（A）异面　（B）相交于一点

（C）平行且不重合　（D）重合

7．设余弦级数的和函数S（x）在区间（0，π）内满足S（x）＝则＝（　）

8．设函数f（x，y）＝则（　）

（A）f（x，y）在（0，0）点间断

（B）f（x，y）在（0，0）点连续且只存在一个偏导数

（C）f（x，y）在（0，0）点连续且两个偏导数都存在

（D）f（x，y）在（0，0）点连续但两个偏导数都不存在

9．若反常积分收敛，则α的最大取值范围是（　）

（A）α＜2　（B）α＞2　（C）α＜3　（D）α＞3

三、计算下列各题

10．设f（u，v）具有二阶连续偏导数，且fu（1，1）＝1，fuv（1，1）＝2，fuu（1，1）＝3，z＝f（ex－y，（y＋1）cosx），求

11．求圆的半径以及圆心坐标．

12．已知过点P（3，2，1）的直线L 与平面Π：2x－2y＋3z＝1平行，且与直线相交，试求出直线L 与L1的交点Q 的坐标．

13．求由方程y2zex＋y－sin（xyz）＝0所确定的隐函数z＝z（x，y）的全微分．

14．将函数f（x）＝（－π＜x≤π）展开为Fourier级数．

四、综合题(https://www.xing528.com)

15．将函数f（x）＝展开成x 的幂级数，并指明收敛域．

16．求幂级数的收敛域与和函数，并计算

17．设a1＝1，an＋1＝（n＝1，2，…）．试讨论数项级数

是否收敛．若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？

2013级（下）（B类）期末试卷

一、填空题

1．曲面z＝4－x2－2y2在点_________处的切平面平行于2x＋4y＋z＝1．

2．幂级数的收敛域为_________．

3．已知是某函数的全微分，则a 与b 之间的关系是________．

4．函数f（x，y）＝x2＋2xy 在点P0（1，1）处沿向量l＝i＋j 的方向导数为________．

5．设＝________．

6．设l：x2＋y2＝1（y≥0），则＝_________．

7．交换积分次序＝________．

8．设u＝f（x，y），其中x＝rcosθ，y＝rsinθ，则xfx＋yfy的极坐标表示为________．

9．曲线x＝e－t，y＝et，z＝t对应于t＝0点处的切线方程为________．

二、计算下列各题

10．已知直线L1经过点（0，0，－1）且平行于x轴，直线L2经过点（0，0，1）且垂直于xOz 平面，求与这两条直线等距离的点的轨迹方程．

11．计算二重积分其中D＝｛（x，y）｜x2＋y2≤x＋2y＋1｝．

12．设f（x，y）可微，且f（x，4x）＝x5，fy（1，4）＝求fx（1，4）．

13．计算第二型曲面积分

其中Σ 为曲面z＝2－x2－y2（1≤z≤2）的上侧．

14．设f（x）＝（x－1）n，求

三、综合题

15．计算第二型曲线积分

其中L 是曲线从z轴的正向往负向看，L 为逆时针方向．

16．求密度ρ＝｜xyz｜的抛物面z＝（x2＋y2）（0≤z≤2）的质量．

17．求原点到曲面z2＝xy＋x－y＋4的最短距离．

18．计算三重积分

其中常数a，b，c均大于0．

2014级（下）（B类）期末试卷

一、填空题

1．设f（t）可导，且f′（e2）＝1，又u（x，y）＝f（xy），则＝_________．

2．若du＝（x2＋2xy3）dx＋（3x2y2＋cosy）dy，则u＝_________．

3．交换积分次序＝________．

4．函数f（x，y）＝xy－y在闭区域D＝｛（x，y）｜x2＋y2≤1｝上的最大变化率（即方向导数的最大值）为_________．

5．已知直线在平面Π中，且Π在点（1，－2，5）与曲面S：z＝x2＋y2相切，则a＝________，b＝________．

6．设L 是球面x2＋y2＋z2＝a2（a＞0）与平面x＝y 的交线，则

7．设S 是上半球面z＝，则

8．当α＝________，β＝________时，向量场

A＝（2x＋αy）i＋（x＋3z）j＋（βy－z）k

为有势场．

9．极限的值是_________．

二、计算下列各题

10．设f（x，y）具有二阶连续偏导数，f（1，1）是f（x，y）的极值，令g（x，y）＝f（f（x，y），x＋y），计算

11．计算积分

12．计算第二型曲面积分其中Σ是圆柱面x2＋y2＝4被平面x＋z＝2和z＝0所截下的部分，取外侧．

13．计算第二型曲线积分其中C是以A（－1，0）为起点，B（1，0）为终点的下半单位圆周y＝－

14．计算三重积分其中Ω是由曲线绕z轴旋转而成的曲面，以及平面z＝2与平面z＝8所围成的区域．

三、综合题

15．计算第二型曲线积分其中L是x2＋y2＝1与x＋y＋z＝1的交线，从x 轴的正向看是逆时针方向．

16．计算第一型曲面积分其中S是圆锥面z＝被圆柱面x2＋y2＝2ax（a＞0）所割下的部分．

17．求由方程2x2＋y2＋z2＋2xy－2x－2y－4z＋4＝0所确定的函数z＝z（x，y）的极值．

18．求数项级数的和．

2015级（下）（B类）期末试卷

一、填空题

1．＝________．

2．级数的收敛域为_________，和函数为_________．

3．设函数z＝x2－xy＋y2在点（1，1）处沿方向l的方向导数取得最大值，且＝1，那么l＝________．

4．设，则＝________．

5．设C 是曲线x＝etcost，y＝etsint，z＝et上对应于t从0变到的这段曲线弧，则曲线积分＝________．

6．曲面x2＋2y2＋3z2＝21的平行于平面x＋4y＋6z＝0的切平面方程为_________．

7．曲线到xOz 平面的投影柱面的方程为________．

8．若有向曲线C 是（x－3）2＋（y＋4）2＝4，取顺时针方向，则

9．设函数u（x，y，z）具有二阶连续偏导数，则rot（gradu）＝________．

二、计算下列各题

10．求通过x轴且垂直于平面5x－4y－2z＋3＝0的平面方程．

11．计算二重积分其中区域D 是由曲线y＝（x＋1）2，x＝y－y3以及直线y＝－1，x＝－1围成的平面区域（见右图）．

12．计算三次积分

13．求由锥面z＝与平面z＝1－x 所围立体的表面积．

14．直线上哪一点到原点的距离最短？最短距离是多少？

三、综合题

15．计算第二型曲线积分其中L 是曲线从z轴正向往z 轴负向看取顺时针方向．

16．计算第二型曲面积分其中Σ 是曲面z＝x2＋y2满足z≤2x 的部分，取下侧．

17．某城市的人口密度（每平方千米上人口数）由f（x，y）＝10000e－0．2｜x｜－0．1｜y｜给出，其中原点（0，0）表示市政大厅所在处．求在长方形区域

内的人口数，其中x 和y 的单位是千米．

18．设在上半平面内，函数f（x，y）具有连续偏导数，且对任意的t＞0都有

f（tx，ty）＝t－2f（x，y）

证明：对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有

2016级（下）（B类）期末试卷

一、填空题

1．曲线L：x＝t，y＝t2，z＝t3（｜x｜≥1）在点________处的切线与平面x＋2y＋z＝4平行．

2．幂级数的收敛半径为_________．

3．曲面z＝x2＋y2在 点M0（1，1，2）处指向下侧的单位法向量n°＝_________，函数u＝x2zlny 在点M0处沿方向n°的方向导数为_________．

4．向量场A＝｛x＋y＋z，xy，z｝的散度divA＝________．

5．常数a＝_________和b＝_________时，向量场A＝｛x2－ayz，y2－2xz，z2－bxy｝为有势场．

6．设曲线则＝_________．

7．设曲面Σ：x2＋y2＋z2＝9，则＝________．

8．使得二重积分的值达到最大的平面闭区域D为_________．

9．设f（x）＝x＋1（－π＜x≤π）的以2π为周期的Fourier级数的和函数为S（x），则S（1）＝_________，S（3π）＝_________

二、计算下列各题

10．计算累次积分

11．计算三重积分其中区域

12．计算第一型曲线积分其中L为球面x2＋y2＋z2＝与平面x＋z＝1的交线．

13．直线L：2x＋3y＝6与x 轴和y 轴的交点分别记为A 和B，试在椭圆C：x2＋4y2＝4上求一点P，使得△PAB 的面积最大．

14．设区域记号［x］表示不超过x的最大整数，试计算二重积分·［1＋x2＋y2］dxdy．

三、综合题

15．设曲面Σ 是锥面z＝被柱面z2＝2y 所割下的有限部分，其密度μ（x，y，z）等于点（x，y，z）到原点O 的距离，记该锥面与柱面的交线为C．试求：

（1）曲线C 在xOy 面上的投影曲线方程；

（2）曲面Σ 的质量．

16．计算第二型曲线积分其中L 为由点A（2，0）沿曲线y＝到点B（0，2）的弧段．

17．计算曲面积分∧dz＋y2dz∧dx＋（z3＋x）dx∧dy，其中曲面Σ 为抛物面z＝x2＋y2（0≤z≤1）的下侧．

18．设函数f（x，y）满足

且f（0，y）＝y＋1．曲线Lt是从点（0，0）到点（1，t）的光滑曲线．令

试求I（t）的表达式以及I（t）的最小值．