矩阵概念与阶梯形矩阵简介

引例1 某集团公司的三个生产基地A，B，C都生产甲，乙，丙三种产品，上半年的产量（t）见表6-7.

表6-7 上半年产量 单位：t

上表可以用一个3行3列的矩形数表简略地表示为

引例2 某种商品从5个产地通过快递运到4个用户，如果aij表示由产地Ai（i=1，2，3，4，5）运到用户Bj（j=1，2，3，4）的数量.运输方案见表6-8.

表6-8 某商品的运输方案

上表可以用一个5行4列的矩形数表简略地表示为

引例3

线性方程组

中，未知数xj的系数aij和常数项bi，按原来的顺序排列成的矩形数表为

定义1

由m×n个数aij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）排成m行n列的矩形数表

称为m行n列矩阵，简称为m×n矩阵.通常用大写英文字母A，B，C…表示矩阵，如果需要表明矩阵的行数和列数，记作Am×n，有时也可记作A=（aij）m×n，其中aij称为矩阵A中第i行第j列的元素，有时简称元.横排叫行，竖排叫列.

定义2

m×n线性方程组

未知数的系数构成的矩阵称为系数矩阵.

未知数构成的矩阵称为未知数矩阵.

常数项构成的矩阵称为常数项矩阵.

系数矩阵A与常数项矩阵β组成的矩阵称为增广矩阵B

如，方程组

系数矩阵表示为

增广矩阵表示为

定义3

行数与列数均为n的矩阵，称为n阶方阵.

如就是一个2阶方阵.

在n阶方阵中，从左上角到右下角的直线称为主对角线，从右上角到左下角的直线称为次对角线.

定义4

对于一个方阵，主对角线上的元素都是1，其他元素都是0，称此矩阵为单位矩阵.记作E，即.(www.xing528.com)

定义5

1×n的矩阵，只有一行元素，称为n维行矩阵.

如A=（1-230）就是一个4维行矩阵.

定义6

n×1的矩阵，只有一列元素，称为n维列矩阵.

如就是一个4维列矩阵.

定义7

如果矩阵A的所有元素都为零，则称A为零矩阵，记作O；至少有一个元素不为零的矩阵称为非零矩阵.

矩阵中所有元素都为零的行称为零行，反之称为非零行；所有元素都为零的列称为零列，反之称为非零列.

定义8

如果矩阵A满足下列条件：

（1）矩阵A的零行在A的最下方；

（2）矩阵A各非零行的第一个非零元aij的列指标j随行指标i的递增而严格增大.

那么，矩阵A称为阶梯形矩阵.

阶梯形矩阵A的非零行的第1个非零元素称为A的主元.

说明

①阶梯形矩阵主元的个数等于其非零行的个数；

②零矩阵是特殊的阶梯形矩阵.

如都是阶梯形矩阵.

定义9

阶梯形矩阵A的主元都是1，且主元所在列上的其他元素都为零，则A称为简化阶梯形矩阵.

如都是简化梯形矩阵.

课后提升

1.简述下列概念.

（1）5×6矩阵；（2）方阵；（3）单位矩阵；（4）列矩阵，行矩阵；（5）阶梯形矩阵；（6）简化阶梯形矩阵.

2.有四个工厂均能生产甲、乙、丙三种产品，其单位成本见表6-9，请你用矩阵把它表示出来.

表6-9 产品的单位成本 单位：万元

3.写出下列线性方程组的系数矩阵A，未知数矩阵X，常数项矩阵β和增广矩阵 B.

4.写出下列增广矩阵对应的线性方程组.

5.下列矩阵中，哪些是单位矩阵？哪些是阶梯形矩阵？哪些是简化阶梯形矩阵：

答案

（略）