欧几里得空间与非欧几何空间的区别及球面空间的限制

牛顿体系下的空间，是对应于可用欧几里得几何（Euclidean geometry）描述的平坦（flat）空间，而且是均质（homogeneous，即各个位置都相同）且均向（isotropic，即各个方向都相同）的均匀空间（uniform space）。欧几里得空间有许多重要的特性，与我们日常生活的几何经验吻合。例如，只有一条直线可通过另一直线外的任一点而与该直线平行；两点之间最短距离的路径（即测地线，geodesic）是条直线；任三条直线相交所形成的三角形，其内角之和为180度，等等。

除了平坦空间外，还有两类均匀空间可用非欧几何（non-Euclidean geometry）来描述，分别是具备正曲率的球面空间（spherical space）与负曲率的双曲空间（hyperbolic space）。相对于曲率为零的平坦空间，这两类空间的曲率半径（curvature radius）分别规范了它们的弯曲程度。在这些弯曲空间里，每一块尺度远小于曲率半径的区域，看起来就和平坦空间没什么两样，可以直接使用欧几里得几何来描述这些局部的空间。也就是说，假如曲率半径远远大于我们平常经验所熟悉的空间尺度时，即使处在这两类弯曲空间里，我们也无法区分它们和欧几里得空间有何不同。譬如，生活在地球表面的人，基本上认为自己位于一个平坦空间中，这完全是因为地球半径远超过人类日常生活经验尺度的缘故。

因此，我们必须知道一些非欧几何的特性，才能够区分平坦空间与弯曲空间不同之处。在正曲率的球面空间里，两点间最短距离的路径并不是直线，而是以球心为圆心所对应出的圆弧，这样的测地线称作“大圆”（great circles）。例如，从台北至旧金山的洲际航线，飞机飞行的路径，基本上就遵循一段大圆航道。此外，在球面上任三点间测地线所形成的封闭三角形，其三个内角和会大于180度。类似的道理，在负曲率的双曲空间里，两点间最短距离的测地线也不是条直线，而是半圆弧；封闭三角形的三个内角和则小于180度。(www.xing528.com)

就空间的范围而论，欧几里得的平坦空间是可无限延伸且无边界限制的“开放”（open）空间。另一方面，球面空间的大小因取决于球的半径，体积受此限制而不会无限延伸。但由于在球面上并无天然的边界划分，因此球面空间可说是个有限无界的“封闭”（closed）空间。形状像马鞍面或甘蓝菜叶面的双曲空间，则类似平坦空间，属于无界无限的“开放”空间。