从不同的几何量和物理量中分别抽象出1维向量、2维向量、3维向量，如在几何中，它们分别对应于几何空间中的直线、平面与空间.
由空间解析几何知道
中的向量规定了加法运算，它符合向量的平行四边形法则，还规定了向量与数的数量乘法，这两种运算都满足一定的运算规律.为方便起见，把R3称为3维向量空间.
，相应地称之为2维向量空间R2和1维向量空间R.
同理，也可以把抽象出的n维向量的全体所构成的集合Rn称为n维向量空间.例如，当研究一飞行物在空间运行的状态时，就至少需要通过8维向量来刻画它，这是因为飞行物的空间位置（x，y，z）、质量m、时刻t和飞行速度（vx，vy，vz）都需要同时确定.为此，在Rn中也类似地规定了n维向量的加法和数乘这两种线性运算，有关向量组的线性相关性等已经做过详细的讨论.
注：n维向量的定义是具体空间上向量定义的高度抽象.n维向量定义的产生过程，体现了感性认识到理性认识的飞跃.
定义1 设V是数域F上的n维向量构成的非空集合，且V满足下面两个条件.
（1）若α∈V，β∈V，则α+β∈V.
（2）若α∈V，λ∈F，则λα∈V.则称集合V为F上的向量空间.(https://www.xing528.com)
定义中的条件（1）、（2）称为V对于n维向量的加法及数乘两种运算封闭.本书所提到的向量空间都是实数域F=R上的向量空间.所以，V关于向量的线性运算封闭，V就是一个向量空间.
例如，设α，β是两个已知的n维向量，则集合L=｛x=λα+μβ|λ，μ∈R｝是一个向量空间.
事实上，因为对于任意的x1=λ1α+μ1β，x2=λ2α+μ2β，k∈R，总有x1+x2=（λ1+λ2）α+（μ1+μ2）β∈L，kx1=kλ1α+kμ1β∈L，所以L是一个向量空间，称这个向量空间为由向量α，β所生成的向量空间.
一般地，由向量组α1，α2，…，αm所生成的向量空间记为
L｛α1，α2，…，αm｝=｛β=λ1α1+λ2α2+…+λmαm|λ1，λ2，…，λm∈R｝.
又例如，齐次线性方程组的解集S=｛x|Ax=0｝是一个向量空间（称为齐次线性方程组的解空间）.由齐次线性方程组的解的性质1、2，即知其解集S对向量的线性运算封闭.但是非齐次线性方程组的解集S=｛x|Ax=b｝却不是一个向量空间.
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