数学常数F：混沌现象与奇异吸引子之谜

F＝4．669202称为菲根鲍姆(Feigenbaum)常数。这一常数的发现是近十年的事，它是本世纪的重大发现之一。目前世界上许多专家学者正轰轰烈烈开展对“混沌现象”和“奇异吸引子”的深入研究。

“混沌”在现实世界中常常见到：满天乌云，滚滚浓烟，江河中的紊流，冬天凝结的冰花。这些自然现象杂乱无章，混沌而无序。但是有序与无序是并存的，有序是由无序产生的。在什么情况下有序与无序依靠我们去揭示，自然界如此，而我们数学界也如此。

在数学上发现“混沌现象”还有一段故事。那是在1975年，美国普林斯顿大学著名生物教授R．May正在研究种群模型的迭代函数

fλ(x)＝λx(1－x)，x∈[0，1]，且0≤λ≤4

即数列函数

xn＋1＝λxn(1－xn)，0≤λ≤4，n＝0，1，2，3，…

我们知道，函数可以复合，把f(x)中的x换成g(x)，便得到复合函数f(g(x))。如果f(x)的值域不超出它的定义域，它就可以自己和自己复合——

迭代，记f0(x)＝x，f1(x)＝f(x)，f2(x)＝f[f(x)]，…fn(x)＝f[fn－1(x)]＝]}，fn(x)叫做f的n次迭代。

如果x0满足，那么称x0为f的n周期点(或不动点)。

设f是可微函数，x0是n周期点，则当＜1时，称x0为n周期稳定的。所谓x0是稳定的，是指在x0附近的任何值，经迭代后仍趋向于x0，具有“吸引”周围点的特征。称x0点为“吸引子”。

通过分析迭代关系xn＋1＝λxn(1－xn)，当λ取不同值进行数值计算，发现有如下现象：

(1)当0＜λ＜1，＝0为一周期点且稳定；(www.xing528.com)

(2)当1＜λ＜3，＝1－为稳定周期点；λ＝3，不动点稳定性遭破坏；

(3)当3＜λ＜1＋≈3．449，有两个稳定的2周期点；

(4)当1＋＜λ＜3．544，出现4周期点。

……

随着λ的增长，f的周期点个数不断增加，但当λ＝3．569945672…时，出现周期为∞的非周期解，此时进入混沌状态。任何初值的迭代都不收敛于有限的吸引子，{xn}可以在[0，1]上游荡，好像布朗运动那样随机地出现在任何位置上。

当时，R·May教授无法解释上述那种出现的现象，想像中也许是出于计算上的误差所造成的吧。当他看到正在美国马里兰大学攻读的博士研究生李天岩和他的导师Yorke所发现的定理(此定理早在一年前已发现)“周期三蕴涵着混沌”时，感到吃惊，认为此定理解释了他的疑问。认为这种混乱现象不是计算上的误差所导致的结果，而是存在于函数本身的固有特性。由于R·May教授很出名，并在世界许多国家演讲，又因此定理通俗易懂，从此对“混沌现象”的研究掀起了热潮。

“混沌现象”难道真的像定理所说的是乱七八糟吗?美国康奈大学博士生菲根鲍姆苦苦思索，想找出其变化的规律，从而写出质量高的论文。因他好几年都没发表论文了，否则就要下放到三流的工学院工作。此时，他的导师带他到实验室工作，这正是他施展才能的地方。他把全部精力投入这项研究，为了找到在区间迭代映射中进入混沌带的规律，他从上面选择了一些截然不同的单峰非线性函数进行迭代，验证前人的成果，细心地用计算机计算，当λ逐步增大，周期点增多，他把这种一分为二，二分为四…的过程——周期倍化分叉现象画好图，列好表，分析获得的成千上万个数据间的关系，发现

这个数值反复出现。请看下面所列经过整理后的表：

周期倍化分叉中的间距比值变化情况

由上表最后一列可看到间距比值的变化规律。常数F的发现是动力系统研究中的重大突破，它不仅揭示了自然界中以倍周期分叉进入混沌是通向混沌的途径之一，而且证实了混沌确实不是混乱，也不是通常发生在多自由度系统中的随机运动，而是它本身所固有的性质。