中国数学家高潮时期：代数学辉煌，领先欧洲数世纪！

从756年至1600年(即从唐肃宗至德元年到明神宗万历二十八年)，计844年，中国数学的发展主流是计算技术的改进和宋元时期代数学的高度发展。主要数学家有贾宪、秦九韶、李冶、杨辉、郭守敬、朱世杰等。在这个时期，中国数学达到高潮，开辟了比过去广阔得多的领域，在方程论、初等数论、纵横图说、孤矢割圆术、级数论、面积体积计算、球面三角等方面均有硕果。解高次数字方程求根的近似值的方法，是最有代表性的中国数学贡献。

唐朝中叶的安史之乱虽然不久就被平定，但它对于唐朝的政治、经济、文化发生了巨大的影响，封建土地占有形式发生变化，手工业和商业获得一定程度的发展。工商业的发展促进了数学知识和计算技能的普及，劳动人民简化了筹算乘除的演算手续，减轻了数字计算的工作，现在有传本的《韩延算术》就是其中的一部。

唐末政治黑暗，人民陷于严重灾难中。农民起义和军阀混战促使唐朝灭亡，接着的五代十国仍是军阀混战的继续。宋朝统一中国，建立起一个高度集权的封建国家，对于安定社会秩序、发展经济，起了一定的积极作用。

北宋初100多年，农业生产力有了显著的提高，工商业有了显著的发展。当时的三大发明(火药、指南针、活字印刷术)就是在这种经济高涨的情形下，人民发挥巨大创造力的成果。原始火箭在宋代出现，到了元代己使用在军事上。由于生产和科学技术的发展，要求数学提供更为精确简便的计算方法，中国数学达到了同时代世界的最高水平。

11世纪以后，古典的和新著的数学书的印刷本在全国各地流通，促进了数学教育的普及和数学研究的进展。最早的教学书籍的版本出现在1084年(元丰七年)，秘书省校刻算经，中国印刷术有助于中国数学在末代第二次开花。

宋代大科学家沈括著《梦溪笔谈》(11世纪)，创“会圆术”(最早的由弦到矢的长度求弧长的近似计算公式)和“隙积木”(一种级数求和法)。

高次幂的概念虽然抽象，但它是有现实意义的。11世纪中，贾宪撰《黄帝九章算法细草》。杨辉的《详解九章算法》(1262年)讲到“贾宪三角”(“开方作法本源图”)。它是二项展开式系数表，比“帕斯卡三角”早四百多年。利用“贾宪三角”，贾宪开创任何高次幂的“增乘开方法”。13世纪中期，数学家们又用这个方法求任何数字高次方程的正根，很多有实际意义的应用问题就得到了解答。

根据实际问题中的已给条件，建立代数方程是一件困难的事情。北方的数学家们在13世纪发明了一个建立方程的新方法(后人称它为“天元术”)，对任何代数问题都可以迎刃而解。进一步的发展是联立多元高次方程的解法(后人称它为“四元术”)，当时用天元术成四元术解答应用问题的书很多，但现在有传本的只有李冶与朱世杰的著作。(www.xing528.com)

李冶在1248年完成《测圆海镜》十二卷，涉及代数、几何等多方面。他的《益古演段》总结了当时数学发展的一些新成就。朱世杰的《算学启蒙》三卷(1299年)、《四元玉鉴》三卷(1303年)，对于高阶等差级数和“招差术”都有独到的研究，他的高阶等差级数求和法比西方早370多年。这一时期中国数学家在代数学方面取得了辉煌的成就，比欧洲人的代数学超前了几个世纪。

天文学的不断发展对数学提出了更高的要求，也促进了数学的发展。宋代最著名的是数学家秦九韶的《数书九章》十八卷(1247年)，总结了天文学家推算“上元积年”的经验。他的“正负开方术”解决了数字高次方程的求正根法，比西方早五百多年。他的“大衍求一术”解决解不定方程的问题，使一次同余式问题解法成为系统化的数学理论—“中国剩余定理”，比西方早五百多年。

元代郭守敬与王恂、许衡等人编制了《授时历》(1280年)，应用“招差术”发明三次函数的内插法。朱世杰又用“招差术”解决了高阶等差级数的求和问题。这正是数学发展必须理论联系实际的一个很好的证明。

从唐中叶到元末，600年中的实用算术，在改进数字计算方面有着显著的成就。在这个时期里，发展了10进小数概念，产生位值制数码，归除歌诀逐渐完备，发明了比算筹更便利的计算工具—珠算盘。明初到万历初年是明朝强大和稳固的时代，商业算术由于客观上的需要得到很快发展。具有代表性意义的是吴敬得《九章算法比类大全》，于1450年出版，在数字计算方面总结了宋元算术的成就。

16世纪中，有很多的商业算术书提倡用珠算盘计算。1592年，程大位撰《直指算法统宗》十七卷，集珠算之大成。此书流传最广，影响极大。到1698年又缩编为《算法纂要》四卷，珠算术从此在全国范围内广泛传播。珠算盘代替了筹算，直到现在还是数字计算的有效工具。

明朝为了加强培养封建国家的官僚，奴役人民思想，科举制度规定专取四书五经命题，用八股文程式考试，主观唯心主义的程朱理学盛行。数学尽管在商业算术方面有新的发展，但是前一时期在代数学方面的辉煌成就几乎被淹没。