1758年创立一学会，拉格朗日写下名著《解析力学》

在1758年他建立一个学会，讨论物理、天文及数学的问题，并连续出版5巨册科学上的论著，这些包含他9年来不停的研究，书完成之后，他的健康也受损坏，以后他常常感到忧郁。

他的第一册是关于声波的传播。他在里面指出牛顿对声波看法的一个错误，而且得到声波运动的微分方程。

在这册里还有一篇是关于弦振动问题的解说。在这之前，泰勒(Taylor)、达朗贝尔(D′Alembert)及欧拉曾考虑同样的问题，可是没有得到全部的解答。现在拉格朗日得到运动的曲线在任何时间t是形如

y＝a Sin(mt)Sin(nt)

然后他讨论回声(echoes)、节拍(beats)及混声(Compound)，用到了概率论和变分学。

第二册是利用变分学来解决一些力学问题。

第三册是专讲解析力学，也用到变分学。他也考虑一些积分学的问题。并解决了法国数学家费马提出的一个数论问题：“如果n是一个不平方的整数，找所有的x使得x2 n＋1是平方数。”(www.xing528.com)

他也讨论了三个物体在互相吸引之下运动的一般微分方程。

人很早用望远镜发现月球总是有一面对地球，月球绕地球转动，也会自转，为什么有以上奇怪的现象：另外一个面为何羞答答的不让人们看到?

在1764年拉格朗日对以上的问题用力学来考虑，他用“虚功”(Virtual work)解决了以上的问题。

1766年欧拉离开了普鲁士，他推荐拉格朗日继承他的职位。腓德烈大帝(Frederic the great)亲自写聘书，里面说：“欧洲最伟大的国王希望欧洲最伟大的数学家能在他的宫廷里工作。”拉格朗日就动身到普鲁士，一呆就呆了20年，在这期间写下了他的名著：《解析力学》(Analytique Mechanics)。

他在这20年工作惊人，写了100到200多的论文给柏林科学院，都灵学会及巴黎科学院，有一些还是厚厚的巨册。他工作的方式是这样：当他决定写东西，就拿起笔一直写下去，一气呵成，很少有改动的地方。而且行文严谨文笔优美，很少错误。他的《解析力学》，后来爱尔兰的数学家和天文学家哈密尔顿(Hamilton，读者可读拙著第一册关于他的事迹)称赞为“科学上的诗歌”。